5、不等式约束最优控制问题与限时拼车服务算法研究

不等式约束最优控制问题与限时拼车服务算法研究

1. 不等式约束最优控制问题概述

在不等式约束最优控制（OC）问题中，我们面临着一个具有挑战性的非凸最优控制问题。目标函数和不等式约束由博尔扎型泛函给出，其中泛函的终端部分和被积函数是状态DC函数，而控制系统是状态线性的。

为了解决这个问题，我们引入了惩罚问题，并通过对成本泛函的非凸部分进行线性化，得到了线性化问题。局部搜索方案的思想是连续求解线性化问题，从而逐步逼近最优解。

在研究过程中，我们发现序列 ${u_k(\cdot)}$ 在 $L_r^2(T)$ 中弱收敛，并且得到了一些收敛的数列和函数序列。这些序列的收敛性依赖于线性化问题的求解，即能否利用已知的过程 $(x_k(\cdot), u_k(\cdot))$ 生成下一个控制迭代 $u_{k + 1}(\cdot) \in U$。

为了实现这一点，我们需要回顾线性化问题的成本泛函的精确形式：
$$
\begin{align }
\Phi_k(x(\cdot), u(\cdot))&=[G_0(x(\cdot), u(\cdot))+\sigma_kG_{\pi}(x(\cdot), u(\cdot))]\
&-\langle\langle\nabla F_0(x_k(\cdot))+\sigma_k\nabla F_{\pi}(x_k(\cdot)), x(\cdot)\rangle\rangle\
&=g_{10}(x(t_1))+\int_{T} g_0(x(t), u(t), t)dt+\sigma_k \max\left{\sum_{j\in I}\left[h_{1