16、随机变量的深入剖析与应用

随机变量的深入剖析与应用

1. 点条件概率密度函数

在离散随机变量的情况下，我们可以直接参考相关公式得到直观结果。以之前的例子来说，点条件概率密度函数（PDF）如下：
- (f_X(x|Y = y) = \begin{cases} \frac{1}{1 - y}, & 0 \leq y \leq x \leq 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases})
- (f_Y(y|X = x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 \leq y \leq x \leq 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases})

2. 统计独立随机变量

基于统计独立性的概念，一组随机变量相互统计独立意味着每个变量的概率行为不受其他变量概率行为的影响。正式地说，随机变量 (X_1, X_2, \cdots, X_N) 在满足以下任何一个条件时是独立的：
- (F_X(x) = \prod_{n = 1}^{N} F_{X_n}(x_n))
- (f_X(x) = \prod_{n = 1}^{N} f_{X_n}(x_n))
- (F_{X_n}(x_n|\text{any condition on the remaining variables}) = F_{X_n}(x_n), \forall n = 1, \cdots, N)
- (f_{X_n}(x_n|\text{any condition on the remaining variables}) = f_{X_n}(x_n), \forall n = 1,