9、变分自编码器的改进：先验分布的优化策略

变分自编码器的改进：先验分布的优化策略

在变分自编码器（VAE）的研究中，先验分布是一个关键但常被忽视的部分。本文将深入探讨如何通过重写证据下界（ELBO）来理解先验分布，并介绍几种不同的先验分布选择及其特点。

1. 重写 ELBO 带来的洞察

VAE 的一个关键组成部分是关于隐变量 $z$ 的边缘分布，也就是先验分布。在考虑改进先验分布之前，我们先重新审视一下 ELBO。ELBO 可以写成如下形式：
[
E_{x \sim p_{data}(x)}[\ln p(x)] \geq E_{x \sim p_{data}(x)} \left[ E_{q_{\varphi}(z|x)} \left[ \ln p_{\theta}(x|z) + \ln p_{\lambda}(z) - \ln q_{\varphi}(z|x) \right] \right]
]
其中，$p_{data}(x) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \delta(x - x_n)$ 是经验分布，$\delta(\cdot)$ 是狄拉克δ函数。

ELBO 由两部分组成：
- 重建误差（RE） ：
[
RE = E_{x \sim p_{data}(x)} \left[ E_{q_{\varphi}(z|x)} [\ln p_{\theta}(x|z)] \right]
]
- 编码器与先验之间的正则化项（$\mathcal{L}$） ：
[
\mathcal{L} = E_{x \sim p_{data}