C++ AVL树

1.概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，如下图：

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在logn，搜索时间复杂度O(logN)

2.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。

平衡因子（_bf）就是该节点右子树高度减去左子树高度

那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

调整节点的平衡因子

一个合格的AVL树在插入之前，就应该满足AVL树的条件，插入节点的父亲节点的平衡因子只有三种可能（-1，0，1）

插入分以下几种情况：

第一种和第四种插入后子树的高度没有变化，所以上面的节点的平衡因子都不会变，平衡因子的更新可以结束了

第二种和第三种插入后子树的高度发生变化，所以上面的节点的平衡因子要变，要继续更新平衡因子

继续更新后如果有一个节点的平衡因子不再是（-1，0，1）也就是变成2或者-2，就要进行处理

平衡因子变成2或者-2的节点的子树，对于这个子树，一定是高的那个子树插入一个节点，导致在原先就高的那一边的子树，更加高了

我们可以分成以下几种情况继续分析

2 1树（左旋）

平衡因子不合格的本质是树的高度差太大，所以需要降高度。

对8左旋：

-2 -1树(右旋)

对8右旋：

-2 1树(左右旋)

先对8左旋再对10右旋：

这里加在b，也可以加在c，还有可能9就是新增节点，但是中间旋转的过程都是不变的，改变的只有平衡因子，但顶部的平衡因子一定为0。

2 -1 树(右左旋)