10、多尺度时间序列模型：原理、构建与特性

多尺度时间序列模型：原理、构建与特性

1. 引言

多尺度时间序列模型在处理不同分辨率下的时间序列数据时具有重要作用。它能够将不同时间尺度的标准线性模型与尺度间的线性链接方程相结合，通过杰弗里条件规则确保不同层次的过程兼容，从而实现对不同分辨率时间序列的一致建模，并能跨时间尺度连贯地组合信息。

对时间序列分辨率时间尺度的关注至少可以追溯到1960年，当时有人研究了随机游走过程聚合的影响。此后，许多学者考虑使用比随机模型定义的原始时间尺度分辨率更粗的数据。而Ferreira等人在2006年提出了一种从粗到细分辨率构建的新型多尺度时间序列模型。

这种从粗到细的构建方式使得该模型能够模拟长记忆过程。长记忆过程的自相关函数具有特定的衰减形式，与自回归过程不同。当使用无限多的分辨率时，最精细级别的结果过程就是长记忆过程。通常，两到三个分辨率级别就足以对感兴趣的时间序列进行建模，并在最精细的时间分辨率级别上诱导出近似的长记忆过程。

这些模型适用于自然多尺度过程，即那些在不同分辨率级别上存在且具有不同动态的过程。通过对每个分辨率使用少量参数进行简约参数化，最精细分辨率级别的诱导过程会呈现出各种自相关结构。当过程是自然多尺度但仅在最精细尺度上观察到数据时，该模型可用于诱导特定过程，形成所谓的隐藏分辨率模型（HRMs）。由于每个尺度上都存在渐进相关的随机过程，因此得到的多尺度模型类可用于外推和预测。

此外，该模型还具有跨分辨率级别组合信息的能力，它是不同分辨率级别过程的适当联合概率模型，可通过标准概率微积分运算（如边缘化和条件化）来连贯地整合不同尺度的信息。

2. 模型构建

2.1 一般框架