6、A∨C 终止性的依赖对框架

A∨C 终止性的依赖对框架

在重写理论中，终止性分析是一个重要的研究领域。本文将探讨 A∨C 终止性的依赖对框架，包括重写模等式理论、最小项和无限重写序列，以及稳定最小非 E 终止项等内容。

重写模等式理论

给定重写理论 $R = (\Sigma, E, R)$，若存在 $u, v$ 使得 $s \sim_E u$，$u \to_R v$，且 $v \sim_E t$，则记为 $s \to_{R/E} t$。若 $\to_{R/E}$ 是终止的，则称重写理论 $R$ 是 $E$ 终止的。然而，判断 $s \to_{R/E} t$ 是否成立通常是不可判定的，因为需要在可能无限的等价类 $[s]_E$ 和 $[t]_E$ 中搜索匹配项。

为了解决这个问题，定义了一个更简单的关系 $\to_{R,E}$。对于任意项 $s, t$，$s \to_{R,E} t$ 成立当且仅当 $s$ 中存在位置 $p$、规则 $l \to r$ 和替换 $\sigma$，使得 $s| p \sim_E \sigma(l)$ 且 $t = s[\sigma(r)]_p$。若 $\to {R,E}$ 是终止的，则称重写理论 $R$ 是 $(R, E)$ 终止的。

需要注意的是，虽然 $\to_{R,E} \subseteq \to_{R/E}$，但 $(R, E)$ 终止性并不意味着 $E$ 终止性。例如，考虑重写理论 $R = (\Sigma, E, R)$，其中 $‘+’$ 是 AC 符号，规则为 $a + b \to a + (b + c)$。项 $t = a + (b + c)$ 是 $\to_{R,E}$ 范式，但 $t \sim_{AC} (a + b)