21、恒力发生器实现并联机器人重力平衡

恒力发生器实现并联机器人重力平衡

1. 利用恒力发生器实现静平衡并联机构

在大多数并联机构（PKMs）中，连杆的重量相较于末端执行器（EE）的总重量（包括负载）较小，特别是大型重型操作器，如飞行模拟器。忽略连杆重量时，重力平衡的并联机构可视为恒力发生器（CFG），需在末端执行器质心处施加一个大小与平台重量相等、方向相反的恒力。

为解决在多自由度运动的末端执行器某点提供恒力的问题，主要有两种技术：
- 引入辅助运动链 ：从基座到末端执行器引入一个设计为恒力发生器的辅助运动链，并连接到其质心（例如通过球铰）。
- 设计连杆 ：将并联机构的每个连杆设计成能施加恒定力，该力是末端执行器总重量的一部分，这样每个连杆都是一个恒力发生器，无需引入辅助运动链。

2. 空间刚体的运动

假设末端执行器与 $n_F$ 个连杆相连，每个连杆作为恒力发生器（如RRR或UP类型，或平行四边形类型的恒力发生器），通过球铰在点 $P$ 与末端执行器连接。运动时，$n_F$ 个恒定力 $F_i$ 作用于末端执行器，其作用点 $P_1, \cdots, P_6$ 相对于末端执行器本身位置固定。定义两个坐标系 $F = (O, x, y, z)$ 和 $F’ = (O’, x’, y’, z’)$，分别位于固定框架和移动体上。一个恒定力 $F$（如重力）作用于点 $O’$。

根据虚功原理，刚体处于平衡状态的充要条件是：
[F \cdot \delta O’ + \sum_{i = 1}^{n_F} F_i \cdot \delta P_i = 0]
其中，$\delta O’$ 和 $\delta P_i$ 是物体上相应点的虚位移。此时，$P_i - O’ = Rp’ i$，其中 $p’_i = (P_i - O’)$ 是第 $i$ 个力作用点的位置向量（在局部坐标系中），旋转矩阵 $R = [R {jk}]$ 可表示为三个旋转角度 $\Phi = [\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3]^T$ 的函数。由此可得：
[\delta P_i = \delta O’ + \delta (Rp’ i) = \delta O’ + \sum {j = 1}^{3} \frac{\partial R}{\partial \varphi_j} p’ i \delta \varphi_j]
上述平衡方程可改写为：
[(F + \sum {i = 1}^{n_F} F_i) \cdot \delta O’ + (\nabla W) \cdot \delta \Phi = 0]
其中：
[L = [L_{jk}] = \sum_{i = 1}^{n_F} F_i (p’ i)^T]
[W = W(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3) = \sum {j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} R_{jk} L_{jk}]
由于该方程对于任意位移 $\delta O’$ 和旋转 $\delta \Phi$ 都必须成立，因此必然有：
[F + \sum_{i = 1}^{n_F} F_i = 0]
[\nabla W = 0]
可以证明，$\nabla W = 0$ 意味着：
[L = \sum_{i = 1}^{n_F} F_i (p’_i)^T = 0]
前一个方程表示物体的力平衡方程，而后一个方程设定了一个几何条件，即 $O’$ 位于点 $P_i$ 的仿射空间中。如果所有 $P_i$ 共面于 $\Pi$，则 $O’$ 也应在 $\Pi$ 上。但在实际中，对于飞行模拟器等情况，重量通常位于通过连杆连接点的平面的一侧。此时，可以引入一个连接点 $P_i$ 与其他点不共面的恒力发生器连杆，并施加负力，即向下推动平台。不过，这种解决方案会成比例地增加其他连杆需要平衡的总负载，从而增加应力并降低疲劳寿命。

3. 重力平衡的并联机构

以下是一些重力平衡并联机构的相关研究：
|研究|内容|
| ---- | ---- |
|早期应用|最早将恒力发生器用于平衡闭环连杆机构的是通过将缩放仪连杆（带配重）连接到四杆连杆机构的质心，质心通过辅助设备定位。|
|6 - DoF 空间并联机器人|提出一种 6 - 自由度空间并联机器人，每个连杆静态平衡，通过假设末端执行器的总质量可由位于连杆连接点的三个等效点质量代替来简化静态分析。|
|平面连杆机构|表明通用平面机构可通过在每个连杆的质心添加恒力发生器来实现重力平衡，但会增加复杂性，因此对两种平面恒力发生器设计的辅助元件数量进行了比较。|
|弹簧平衡机构|提出一种通用方法来设计弹簧平衡机构（包括串联和并联），可平衡自身重量和外部恒定负载，且无需辅助连杆。|
|3 - DoF 平台|将单自由度恒力发生器扩展到并联系统，设计了一个具有一个平移和两个旋转自由度的 3 - 自由度平台。|
|带恒力发生器连杆的并联机构|提出一类带恒力发生器连杆的并联机构，每个连杆采用平行四边形设计，通过零自由长度弹簧实现平衡，发现末端执行器的质心应属于连接点定义的仿射空间，并考虑了使用对末端执行器施加负力的连杆。|
|6 - DoF 平行平台|提出一种带 PUS 连杆的 6 - 自由度平行平台，通过在末端执行器质心连接类似缩放仪的机构（带配重）实现平衡，在每个连杆的远端也应用配重，使整个连杆的质心与末端执行器的质心重合，并对优化设计以减少惯性提出了一些实际建议。|
|Delta 机器人|通过缩放仪机构平衡 Delta 机器人，在缩放仪近端的平衡恒力由执行器提供，这种“主动”平衡机制通用，可与被动恒力发生器结合使用或用于其他机器人平台，但需要辅助执行器使平衡系统脱离奇异配置。|
|Orthoglide 机器人|考虑对 Orthoglide（一种具有“线性 - Delta”架构的 5 - 自由度并联操作器）进行静态平衡，末端执行器做纯平移运动，两个旋转自由度由末端执行器上的球形手腕控制。提出通过弹簧平衡平台的想法，弹簧可直接连接到平台或通过电缆布线系统连接，后一种方式更好，因为弹簧安装在基座上，惯性影响可忽略不计。由于平台做平移运动，相关方程可大大简化，发现只需在机器人的垂直连杆上连接一个恒力发生器即可。|
|5 - DoF 全并联机器人|提出一种带 UPS 的 5 - 自由度全并联机器人，通过使用弹簧将每个连杆转换为恒力发生器，实现静态平衡。|

4. 重力平衡并联机构的应用

重力平衡在串联机器人中应用普遍，但在并联机构中常被忽视。并联机构通常刚度高，静态变形导致的精度损失问题较小；闭环连杆使平衡系统设计复杂，尤其是空间机器人；此外，并联机构动态性能高，常用于高速和加速运动任务，而重力平衡装置通常会增加连杆的质量和惯性，其作用不太明显。

重力平衡主要应用于末端执行器需承载大负载的并联机构，例如移动平台较大时自身重量较大的情况，以及机器人动态较低或适中、长时间处于静止状态的情况。适合重力平衡的并联机构应用包括：
- 加工任务
- 托盘上重物的装卸
- 医疗设备
- 机器人辅助手术
- 飞行模拟器

由于直接平衡给定闭环机构较为复杂，一些研究提出在预先设计的主连杆上添加辅助惰轮回路或连杆，这些辅助元件可设计为恒力发生器，作用于每个连杆的质心。也有提出通过添加零自由长度弹簧实现平面连杆精确平衡的通用方法，且无需辅助元件。

添加辅助连杆为设计者提供了更大的灵活性，因为它们产生的“约束”较少的解决方案（即满足重力平衡条件的参数数组空间维度更高）。辅助连杆通常承受的负载较小，且设计为在有利的负载条件下工作（纯轴向负载），因此可以很细长，质量和惯性的增加通常可以接受。但这种方法的主要问题是增加了因添加关节而产生的摩擦耗散、主连杆和辅助连杆之间的干涉风险以及整个机构的复杂性。

常见的辅助连杆设计为铰接平行四边形，可排列成缩放仪。这些连杆已成功应用于弹簧和质量平衡。特别是缩放仪可以“重新缩放”点 $P$ 在另一点 $Q$ 处的运动（相对于原点 $O$），比例为常数 $f$，即 $(P - O) = f(Q - O)$，使平衡连杆能够以较小的位移跟随待平衡连杆上连接点 $P$ 的大位移，从而使机器人在保持紧凑重力补偿器的同时具有较大的工作空间。此外，缩放仪可用于物理定位机构的质心，质心与平衡连杆的一个关节重合，然后可在该关节处应用恒力发生器。

mermaid 流程图：

graph LR
    A[重力平衡并联机构应用] --> B[加工任务]
    A --> C[重物装卸]
    A --> D[医疗设备]
    A --> E[机器人辅助手术]
    A --> F[飞行模拟器]

恒力发生器实现并联机器人重力平衡

5. 质量平衡

质量平衡通常对于低速运动的并联机构更有效，否则，配重产生的惯性力可能会超过平衡带来的优势。为了使质心位置保持恒定而增加的总质量可能相当可观，例如对于一个四杆连杆机构，配重的总质量比原始（未平衡）机构的总质量大约大 50%。

为了减小惯性影响，最好将质量添加到近端连杆（即连接到固定框架的连杆）上，这样在机器人操作过程中，配重的运动较小，惯性效应也相应较小。

对于图 1 中的单自由度恒力发生器，相关方程只对总乘积 $m_c c_c$ 的值设置了约束，但没有定义配重的质量 $m_c$。因此，希望选择配重的形状，使围绕点 $O$ 的总惯性矩 $J_{tot}$ 最小，因为在动态运动中会产生惯性矩。

在实际设计中，使用高密度材料并将惯性集中在与图平面垂直的方向上可以获得最佳效果。然而，机器人设计中实际可用的材料选择有限，并且配重的平面外最大允许尺寸也有限。对于给定密度和厚度的配重，将配重平面截面设计为与点 $O$ 相切的圆可以获得最低的 $J_{tot}$，圆的半径可从 $m_c c_c$ 的约束条件中得出。这些结果可以推广到其他质量平衡的多自由度机构。

为了减少配重的总数，对于具有 $n_l$ 个连杆的平面连杆机构，实现完全力平衡所需的最小配重数量为 $n_l/2$。如果尺寸限制特别严格，可以使用不直接连接到操作器的远程配重，然后通过紧凑的传动装置（如液压系统）将重力补偿力传递给机器人。

质量平衡对于并联机构的一个显著优点是，当质心位置 $c$ 恒定时，它与重力矢量 $g$ 的方向无关。也就是说，如果固定框架的方向改变，机构仍然保持平衡，而弹簧平衡的机器人仅在特定方向上处于中性平衡。这一特性使得质量平衡对于便携式操作器（如车辆上的操作器）具有吸引力。

6. 弹性平衡

与质量平衡相比，弹性平衡在设计阶段提供了更大的自由度，并且可以在机构总惯性增加有限的情况下实现重力平衡。然而，如果基座方向改变，弹簧平衡的机构将无法按预期运行。因此，弹簧更适合用于高动态运行的机构，也有一些设计将弹簧和配重结合使用。

需要注意的是，弹簧一般不能平衡惯性力。虽然理论上可以使用弹簧补偿器来平衡惯性力，但通常需要使用凸轮 - 从动件机构，并且执行器扭矩仅在特定运动 $q = q(t)$ 时才能平衡。如果机构需要执行用户可编程的不同运动，就需要动态平衡，而弹簧无法实现这一点。

弹性平衡的一个优点是可以实现自适应平衡，即重力补偿机构可以由用户调节。以图 1 中的单自由度恒力发生器为例，从相关方程可以看出，如果要平衡的重量 $m$ 发生变化，通过简单改变固定框架上点 $A$ 到点 $O$ 处旋转关节的距离 $s_1$，机构仍可保持平衡。在基座上设计一个可沿槽移动的连接点在技术上相对容易，而改变移动连杆上配重的位置则更为复杂。

然而，在这种设计中，改变点 $A$ 的位置（对于固定的恒力发生器方向角 $\theta$）不是一个无能量操作，因为弹簧势能会发生变化。调节机构需要执行器或用户提供的力，这可能需要相当大的努力。因此，一般来说，为不同负载调整补偿器需要独立的执行器。不过，也有一些基于弹簧的设计可以实现无能量的重力平衡自适应调节，通常是通过引入弹簧 - 弹簧补偿器，其中“主”平衡弹簧与第二个弹簧平衡，第二个弹簧补偿机构适应负载变化时的势能变化。

有一种特殊类型的并联机构是张拉整体机构，其所有连杆要么受拉要么受压（受压元件不直接连接）。连杆承受纯轴向负载有利于设计，并且可以使用细长、轻质的连杆。通常，这些机构通过控制某些连杆的长度来驱动。需要注意的是，张拉整体机构通常在运动学上是不确定的，因为一些自由度未被控制，机构的最终配置取决于施加的负载，需要同时解决静态和运动学问题。

张拉整体机构中的拉伸元件可以是弹簧，因此自然会考虑由此产生的机构是否可以实现静态平衡。研究表明，张拉整体系统可以设计为具有零刚度。最早的重力平衡张拉整体机构具有 3 个自由度，最近还提出了一个 6 - 自由度的重力平衡机构。对于这些系统，平衡使得静态分析变得容易得多，并且可以找到解析解。

以下是质量平衡和弹性平衡的对比表格：
|平衡方式|优点|缺点|适用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|质量平衡|与重力方向无关，适合便携式操作器|增加总质量，可能产生较大惯性力|低速运动的并联机构|
|弹性平衡|设计自由度大，可有限增加总惯性实现平衡|基座方向改变影响平衡，一般不能平衡惯性力|高动态运行的机构|

mermaid 流程图：

graph LR
    A[并联机构平衡方式] --> B[质量平衡]
    A --> C[弹性平衡]
    B --> D[适用于低速运动]
    B --> E[与重力方向无关]
    C --> F[设计自由度大]
    C --> G[受基座方向影响]