4、量子系统的数学表述与相关概念解析

量子系统的数学表述与相关概念解析

1. 量子双能级系统测量

在量子双能级系统中，可观测量 (S_1) 的测量由投影值测度（PVM）(E_{S_1} = {E_1, E_{-1}}) 给出，其中：
[
E_1 = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 1
\end{pmatrix}
]
[
E_{-1} = \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{pmatrix}
]
给定密度矩阵 (\rho_x)，测量结果为 (1) 的概率 (P_{E_{S_1}}^{\rho_x}(1)) 是 (Tr(\rho E_1) = \frac{1 + x_1}{2})，测量结果为 (-1) 的概率 (P_{E_{S_1}}^{\rho_x}(-1)) 是 (\frac{1 - x_1}{2})。

相关练习：
- 练习 1.12：要验证集合 ({x = (x_1, x_2, x_3)|\rho_x \geq 0}) 等于 ({x|\sum_{i = 1}^{3}(x_i)^2 \leq 1})，需通过证明 (det(\rho_x) = \frac{1 - |x|^2}{4}) 来完成。
- 练习 1.13：验证 (\rho_x) 是纯态当且仅当 (|x| = 1)。
- 练习 1.14：证明所有迹为 (0) 的 (2\times2) 厄米矩阵都可以写成 (S_1)、(S_2) 和 (S_3) 的线性组合。