49、受安巴尔楚米扬启发的进一步定理：从薛定谔半群到戴维斯定理

受安巴尔楚米扬启发的进一步定理：从薛定谔半群到戴维斯定理

在数学物理领域，安巴尔楚米扬定理有着重要的地位，它为研究算子的谱性质提供了独特的视角。本文将深入探讨受安巴尔楚米扬启发的进一步定理，主要聚焦于薛定谔半群以及戴维斯提出的相关定理。

1. 薛定谔半群的初步推导

我们从薛定谔半群的相关公式推导开始。首先，考虑对(\frac{d}{dt} e^{-L_q t} e^{L t})进行求导：
[
\frac{d}{dt} e^{-L_q t} e^{L t} = e^{-L_q t} (-L_q) e^{L t} + e^{-L_q t} L e^{L t} = -e^{-L t} q e^{L t}
]
通过积分可得：
[
e^{-L_q t} e^{L t} - I = -\int_{0}^{t} e^{-L_q s} q e^{L s} ds
]
进而得到：
[
e^{-L_q t} = e^{-L t} - \int_{0}^{t} e^{-L_q s} q e^{L (s - t)} ds = e^{-L t} - \int_{0}^{t} e^{-L_q (t - s)} q e^{-L s} ds
]
同样地，我们还能得到：
[
e^{-L_q t} = e^{-L t} - \int_{0}^{t} e^{-L (t - s)} q e^{-L_q s} ds
]
对上述方程进行一次迭代，有：
[
e^{-L_q t} = e^{-L t} - \int_{0}^{t} e^{-L (t - s)} q e^{