21、久期多项式的可约性与图的收缩

久期多项式的可约性与图的收缩

在图论的研究中，久期多项式的可约性是一个重要的研究方向。通过对边数不超过三条的图进行分析，我们发现久期多项式可约的充要条件是图中包含环或者是西瓜图。接下来，我们将深入探讨图的收缩操作对久期多项式的影响，以及如何利用这些性质来研究久期多项式的可约性。

图的收缩定义

设 $\Gamma$ 是一个具有 $N$ 条边和 $M$ 个顶点的度量图，选取其中任意一条边 $E_{n_0} = [x_{2n_0 - 1}, x_{2n_0}]$。那么，通过删除边 $E_{n_0}$ 得到的图 $\Gamma’$（即 $\Gamma$ 的收缩图）定义如下：
- 非环边情况 ：若 $E_{n_0}$ 连接两个顶点 $V^{m’ 0}$ 和 $V^{m’‘_0}$，则 $\Gamma’$ 是一个具有 $N - 1$ 条边和 $M - 1$ 个顶点的图，顶点的定义为：
- 对于 $m \neq m’_0, m’‘_0$，$V^m(\Gamma’) = V^m(\Gamma)$；
- $V^{m’_0}(\Gamma’) = V^{m’_0}(\Gamma) \cup V^{m’‘_0}(\Gamma) \setminus {x {2n_0 - 1}, x_{2n_0}}$。
- 环边情况 ：若 $E_{n_0}$ 是附着在顶点 $V^{m_0}(\Gamma)$ 上的环，则 $\Gamma’$ 是一个具有 $N - 1$ 条边和 $M$ 个顶点的图，顶点的定义为：
- 对于 $m \neq m_0$，$V^m(\Gamma’) = V^m(\Gamm