11、真值空缺、真值冗余与对偶性：逻辑理论的多元视角

真值空缺、真值冗余与对偶性：逻辑理论的多元视角

1. 非矛盾律的表达与影响

在逻辑推理中，非矛盾律起着至关重要的作用。引入矛盾会使系统面临陷入平凡主义（即认为一切都是真的观点）的风险，因此人们应避免在系统中引入矛盾。如果逻辑只能通过这种方式来强化非矛盾律，那么放弃该定律就意味着放弃这一防御机制。然而，情况并非总是如此。例如，出于对相关性的考虑而倾向于次协调逻辑时，并不一定需要承认存在真正的矛盾。

需要注意的是，对于非矛盾律的正确定义这一棘手问题，目前的讨论并不全面。不能想当然地认为次协调逻辑不会将¬(A ∧¬A)作为其定理，实际上，许多次协调逻辑都满足这一点。

2. 非矛盾律、二值性与对偶性

2.1 对偶性的概念

在逻辑和数学中，“对偶”的含义具有很强的上下文敏感性。直观上，对偶就像通过镜子反射、反转颜色光谱或用石膏复制脸部一样，是一种“翻转”操作。在逻辑中，对偶可以指极性相反的连接词的切换，如合取和析取、必然和可能算子、全称和存在量词；也可能涉及否定的删除或插入。在代数或语义层面，它可以指代数顺序的反转、开集与闭集的替换、指定值的切换（如从真到非假），或者从欠定赋值函数（有空缺）到过定赋值关系（有冗余）的转变。这些语义上的切换与有效推理模式的对应关系往往并不明显。

2.2 非矛盾律与二值性的对偶关系

非矛盾律和二值性是对偶原则，前者禁止真值冗余，后者禁止真值空缺。与之对应的语义原则是排中律（LEM）和爆炸原理（Explosion），它们在某种重要意义上也是对偶的。例如，对于单前提蕴含形式A ⊨B，存在更多的对偶可能性，包括前提和结论的交换以及合取和析取的切换。

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