35、变换模型的学习、推理与几何问题求解

变换模型的学习、推理与几何问题求解

在计算机视觉领域，变换模型是一个重要的研究方向，它涉及到从现实世界平面到图像的位置映射，以及如何学习和推断这些映射的参数。本文将深入探讨变换模型的学习、推理过程，以及与之相关的三个几何问题的求解方法。

1. 变换模型的学习

变换模型中的学习问题主要涉及如何确定变换参数，以使得模型能够准确地将现实世界平面上的位置 $w$ 映射到图像中的位置 $x$。常见的变换包括欧几里得变换、相似变换、仿射变换和投影变换。

1.1 线性变换参数学习

对于 $\Phi w_i + \tau$ 这种形式的变换，我们可以将其重新表示为关于 $\Phi$ 和 $\tau$ 未知元素的线性函数：
[
\Phi w_i + \tau =
\begin{bmatrix}
u_i & v_i & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & u_i & v_i & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varphi_{11} \
\varphi_{12} \
\tau_x \
\varphi_{21} \
\varphi_{22} \
\tau_y
\end{bmatrix}
= A_i b
]
其中，$A_i$ 是基于点 $w_i$ 的 $2\times6$ 矩阵，$b$ 包含未知参数。此时，问题可以转化为线性最小二乘问题：
[
\hat{b} =