12、回归模型深入解析：从非线性到稀疏与对偶回归

回归模型深入解析：从非线性到稀疏与对偶回归

在数据分析和机器学习领域，回归模型是预测和建模的重要工具。本文将深入探讨非线性回归、核技巧、高斯过程回归、稀疏线性回归以及对偶线性回归等多种回归模型，为你详细解析它们的原理、特点和应用。

1. 非线性回归

在实际问题中，数据之间的关系往往并非线性。非线性回归就是为了处理这种复杂关系而产生的方法。

1.1 非线性回归示例

以使用反正切函数进行非线性回归为例，数据 $x$ 与世界状态 $w$ 之间的关系是非线性的。我们通过将原始观测 $x$ 代入七个反正切函数，计算得到一个新的七维向量 $z$。预测分布的均值可以通过对这七个函数进行加权线性求和得到，其中最优权重通过最大似然法确定。最终的分布 $Pr(w|x)$ 的均值是这些加权函数的和，并且具有恒定的方差。

1.2 贝叶斯非线性回归

在贝叶斯方法中，非线性基函数的权重 $\varphi$ 被视为不确定的。在学习过程中，我们计算这些权重的后验分布。对于新的观测 $x^ $，我们先计算变换后的向量 $z^ $，然后对可能的参数值对应的预测进行无限加权求和。预测分布的新表达式为：
[
Pr(w^ |z^ ,X,w) = Norm_w\left[
\frac{\sigma_p^2}{\sigma^2} z^{ T} Zw - \frac{\sigma_p^2}{\sigma^2} z^{ T} Z \left(Z^T Z + \frac{\sigma^2}{\sigma_p^2} I\right)^{-1} Z^T Zw,
\