6、凝聚离散函数凸性与优化及路径交易算法研究

凝聚离散函数凸性与优化及路径交易算法研究

在数学和网络领域，凝聚离散函数的凸性与优化以及网络路径交易问题是重要的研究方向。下面将详细介绍凝聚离散函数的相关理论和路径交易算法的研究进展。

凝聚离散函数优化

凝聚离散函数在离散空间中有着重要的应用。为了获得给定凝聚离散凸函数的最小化结果，需要该函数为 $C^1$ 函数。

• 局部和全局最小值定义
  • 对于凝聚离散 $C^1$ 函数 $f: Z^n \to R$，其局部最小值是在局部邻域 $\cup_{i \in I}S_i$ 中的最小值，同时也是邻域 $N = \cup_{j \in J}(\cup_{i \in I_j}S_i)$ 中的最小值，其中 $J$ 是有限指标集。
  • 全局最小值则是函数在整个整数空间 $Z^n$ 中的最小值。
  • 定义 $C^1$ 凝聚离散凸函数 $f$ 的局部最小值集合为 $\Psi = {ρ = (ρ_1, …, ρ_n) : ρ_i \in {\lceilγ_i\rceil, \lfloorγ_i\rfloor} \subset Z$ 对于所有 $i} \subset Z^n$，其中 $\partial f(γ) = 0$ 对于 $γ \in R^n$ 成立。
• 局部最小值引理
  • 设 $f: Z^n \to R$ 是 $N \subset Z^n$ 中的 $C^1$ 凝聚离散凸函数，则在 $N$ 中存在局部最小值 $f_0 = \min_{\beta \in \P