22、ZDD 算法在重配置问题中的应用与性能分析

ZDD 算法在重配置问题中的应用与性能分析

1. 算法基础与操作

在重配置问题的求解中，ZDD（零抑制二元决策图）发挥着重要作用。在构建 $Z_i$ 后，需要判断 $Z_i = ⊥$（即 $S(Z_i) = ∅$）以及 $T ∈S(Z_i)$ 这两个条件。若 $Z_i = ⊥$，意味着从初始集合 $S$ 到目标集合 $T$ 不存在重配置序列，此时输出“NO”并停止；若 $T ∈S(Z_i)$，则存在长度为 $i$ 的从 $S$ 到 $T$ 的重配置序列，输出“YES”并停止；若两者都不满足，则构建 $Z_{i+1}$。

例如，我们可以得到 $S(Z_0) = {S} = { {1, 3}}$，$S(Z_1) = { {1, 3, 5}, {1, 3, 6}}$，$S(Z_2) = { {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {3, 5}, {3, 6}}$，$S(Z_3) = { {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 6}}$。

接下来，介绍关于 ZDD 的移除和添加操作：
- 移除操作（remove(Z, R)） ：设 $ν = root(Z)$ 且 $ν = (x, ν_0, ν_1)$，当 $x ∈R$ 时，$root(Z_{rem}) = x$，$child_0(Z_{rem}) = remove(child_0(Z), R \ {x}) ∪ child_1(Z)$，$child_1(Z_{rem}) = remove(child_1(Z), R \ {x})$；当 $x ∉R$ 时，$child_0(Z_{rem}) = r