48、成本函数网络中的虚拟成对一致性

成本函数网络中的虚拟成对一致性

1. 引言

成本函数网络（CFNs）能够以紧凑的方式将许多组合问题表示为离散变量上局部函数的总和。它在生物信息学、资源分配等领域都有应用，还能对贝叶斯网络和马尔可夫随机场等概率图模型进行建模。本文聚焦于最小化任务，即加权约束满足问题（WCSP），其精确方法大多依赖分支定界程序，该程序的效率取决于下界质量和构建时间的权衡。

2. 背景知识

• 加权约束满足问题
  • 成本函数网络（CFN）是一个四元组 $(V, D, S, f)$，其中 $V$ 是变量索引集合，$D$ 是所有变量的有限域列表，$S$ 是 $V$ 的子集集合，$f$ 是所有成本函数的列表。
  • 加权约束满足问题（WCSP）是找到一个完整的非禁止赋值 $x \in D_V$，使函数 $\sum_{A \in S} f_A(x|_A)$ 最小化，此问题为 NP 难问题。
  • 示例：设 $V = {1, 2, 3, 4, 5}$，$S = {\varnothing, {1}, {1, 2, 3}, {1, 4}, {2}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {3}, {4}, {5}}$，$D_2 = D_3 = D_5 = {a, b}$，$D_1 = D_4 = {a, b, c}$。WCSP 旨在最小化目标函数 $f_{\varnothing} + f_1(x_1) + f_{123}(x_1, x_2, x_3) + f_{14}(x_1, x_4) + f_2(x_2) + f_{234}(x_2, x_3, x_4) + f_{235}(x_2,