13、时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式及永磁同步电机的分数阶PID控制优化

时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式及永磁同步电机的分数阶PID控制优化

时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式

在求解时间分数阶混合扩散与波问题时，由于其解的正则性通常比经典偏微分方程弱，这为数值求解带来了挑战。为解决具有初始弱正则性的该类问题，提出了一种在分级网格上的二阶时间精确的Crank - Nicolson（C - N）数值逼近方法。

基本定义与问题转化

定义了如下的分数阶导数：
[ {0}^{C}D {t}^{\gamma}u(x, t) = \int_{0}^{t}\omega_{2 - \gamma}(t - s)\frac{\partial^{2}}{\partial s^{2}}u(x, s)ds, 1 < \gamma < 2]
其中核函数为(\omega_{\nu}(t) = \frac{t^{\nu - 1}}{\Gamma(\nu)}, t > 0)。
通过对原问题作用Riemann - Liouville分数阶积分( {0}I {t}^{\alpha}f(t) = \int_{0}^{t}\omega_{\alpha}(t - s)f(s)ds, t > 0)，将原问题转化为：
[u_{t}(x, t) + {0}^{C}D {t}^{\beta - \alpha}u(x, t) = \phi(x) + {0}I {t}^{\alpha}u_{xx}(x, t) + F(x, t)]
其中(F(x, t) = \int_{0}^{t}\omega_{\alpha}(t -