BZOJ2654 - tree

最新推荐文章于 2019-09-25 15:48:20 发布

ayw1069

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/BZOJ2654.html

本文介绍了一种使用二分搜索算法求解包含特定数量白边的最小生成树问题的方法，通过给白边附加额外权重，确保生成树中白边数量可控，最终找到满足条件的最小生成树。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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Description

给出一个无向连通图\((V,E)\)（\(|V|\leq5\times10^4,|E|\leq10^5\)），边分为白边和黑边，边权不超过\(100\)。求该无向图的恰好包含\(k\)条白边的最小生成树的权值。保证有解。

Solution

二分。
我们给所有白边一个额外权值\(w'\)。显然MST中白边的数量与\(w'\)负相关，于是我们二分这个\(w'\)。
可以证明，加上\(w'\)后的一个包含\(x\)条白边的MST，就是原图中包含\(x\)条白边的最小生成树。因为所有包含\(x\)条白边的生成树在此时的权值都加上了\(w'x\)，所以其在原图中仍然最小。那么我们只要找到一棵包含\(k\)条边的生成树即可。
不过对于一个\(w'\)，不同的MST包含的白边数可能不同。我们可以优先白边求一个MST，其包含\(kR\)条白边；优先黑边求一个MST，其包含\(kL\)条白边。那么该图的所有MST中的白边数都在\([kL,kR]\)区间内，且每种白边数的MST都存在¹。那么当\(k\in[kL,kR]\)时我们也找到了一棵包含\(k\)条边的生成树。

时间复杂度\(O(log(100|E|)\cdot |E|\log |E|)=O(|E|log^2|E|)\)。

Code

//tree
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const double EPS=1e-4;
inline char gc()
{
    static char now[1<<16],*s,*t;
    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}
    return *s++;
}
inline int read()
{
    int x=0; char ch=gc();
    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();
    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x;
}
inline bool equal(double x,double y) {return -EPS<x-y&&x-y<=EPS;}
const int N=5e4+10;
int n,m,k;
struct edge{int u,v,w0,c; double w;} ed[N*2];
double ans;
bool cmpW0(edge x,edge y) {return equal(x.w,y.w)?x.c<y.c:x.w<y.w;}
bool cmpW1(edge x,edge y) {return equal(x.w,y.w)?x.c>y.c:x.w<y.w;}
double res;
int pre[N];
int find(int x) {return x==pre[x]?x:pre[x]=find(pre[x]);}
int Kruskal()
{
    res=0; int kCnt=0,trCnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
        if(find(u)!=find(v))
        {
            res+=ed[i].w; if(ed[i].c==0) kCnt++; trCnt++;
            pre[find(u)]=find(v);
        }
        if(trCnt==n-1) return kCnt;
    }
}
void bSearch(double L,double R)
{
    if(ans) return;
    double mid=(L+R)/2;
    for(int i=1;i<=m;i++) if(ed[i].c==0) ed[i].w=ed[i].w0-mid;
    int kL,kR;
    sort(ed+1,ed+m+1,cmpW0); kR=Kruskal();
    sort(ed+1,ed+m+1,cmpW1); kL=Kruskal();
    if(kL<=k&&k<=kR) {ans=res+k*mid; return;}
    if(k<kL) bSearch(L,mid);
    if(kR<k) bSearch(mid,R);
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ed[i].u=read()+1,ed[i].v=read()+1;
        ed[i].w=ed[i].w0=read(),ed[i].c=read();
    }
    bSearch(-10,10);
    printf("%.0lf\n",ans);
    return 0;
}