7、精确学习半空间的随机一致假设 oracle 研究

精确学习半空间的随机一致假设 oracle 研究

1. 凸集相关概念与引理

在数学中，凸集是一个重要的概念。对于一个子集 $K \subset \mathbb{R}^d$，如果对于任意的 $x, y \in K$ 以及任意的 $0 \leq \lambda \leq 1$，都有 $\lambda x + (1 - \lambda)y \in K$，即连接两点 $x$ 和 $y$ 的线段都在 $K$ 内，那么 $K$ 就被称为凸集。

仿射变换 $\varphi_{A,B} : x \to Ax + B$，其中 $A$ 和 $B$ 是 $d \times d$ 矩阵，且 $A$ 是非奇异的（$\det(A) \neq 0$）。仿射变换会将任何子集的体积改变相同的因子 $\alpha = |\det(A)|$，即 $Vol(\varphi_{A,B}(K)) = |\det(A)|Vol(K)$。

对于凸集 $K$，其均匀随机点 $x$ 的质心（重心）为 $E_K[x]$，协方差矩阵为 $E_K[xx^T]$。当凸集 $K$ 满足以下两个条件时，称其处于各向同性位置：
1. $K$ 的质心是原点，即 $E_K[x] = 0$。
2. $K$ 的协方差矩阵是单位矩阵，即 $E_K[xx^T] = I$。

对于任何全维（在 $\mathbb{R}^d$ 中 $Vol(K) \neq 0$）的凸集，都存在一个仿射变换可以将其置于各向同性位置。

下面是一些关于凸集的重要引理：
- 引理 9 ：对于凸集 $K$，任何通过其质心的半空间切割，每一侧的体积至少为总体积的 $1/e$。