33、模糊逻辑中的函数与聚类方法详解

模糊逻辑中的函数与聚类方法详解

在模糊逻辑领域，有多种函数和算法可用于处理模糊集合和进行数据聚类。下面将详细介绍几个关键的函数和聚类方法。

1. sigmf 函数

sigmf 函数用于计算基于 S 形隶属函数的模糊隶属度值。

语法 ：

y = sigmf(x,params)

描述 ：
该函数通过 S 形隶属函数计算模糊隶属度值，也可以使用 fismf 对象来计算该隶属函数。相关的隶属函数还有 dsigmf 和 psigmf。计算公式为：
[f(x; a_k, c_k) = \frac{1}{1 + e^{-a_k(x - c_k)}}]
要定义隶属函数参数，需将 params 指定为向量 [a c] ，并为 x 中的每个输入值计算隶属度值。

示例 ：

x = 0:0.1:10;
y = sigmf(x,[2 4]);
plot(x,y)
title('sigmf, P = [2 4]')
xlabel('x')
ylabel('Degree of Membership')
ylim([-0.05 1.05])

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| x | 输入值，可以是标量或向量，用于计算隶属度值。 |
| params | 隶属函数参数，为长度为 4 的向量 [a c] 。a 为负值时隶属函数向左开放，为正值时向右开放，a 的大小控制过渡区域的宽度，c 定义过渡区域的中心。 |

输出参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| y | 隶属度值，返回为标量或向量，其维度与 x 匹配，y 中的每个元素是为 x 中对应元素计算的隶属度值。 |

替代功能 ：
可以使用 fismf 对象实现 sigmf 隶属函数：

mf = fismf("sigmf",P);
Y = evalmf(mf,X);

这里的 X、P 和 Y 分别对应 sigmf 的 x、params 和 y 参数。

扩展功能 ：
可以使用 MATLAB Coder 生成 C 和 C++ 代码。

2. smf 函数

smf 函数用于计算基于样条的 S 形隶属函数的模糊隶属度值。

语法 ：

y = smf(x,params)

描述 ：
该函数通过样条基 S 形隶属函数计算模糊隶属度值，也可使用 fismf 对象计算。相关的隶属函数有 zmf 和 pimf。计算公式如下：
[
f(x; a, b) =
\begin{cases}
0, & x \leq a \
2(\frac{x - a}{b - a})^2, & a \leq x \leq \frac{a + b}{2} \
1 - 2(\frac{x - b}{b - a})^2, & \frac{a + b}{2} \leq x \leq b \
1, & x \geq b
\end{cases}
]
要定义隶属函数参数，需将 params 指定为向量 [a b] ，并为 x 中的每个输入值计算隶属度值。

示例 ：

x = 0:0.1:10;
y = smf(x,[1 8]);
plot(x,y)
title('smf, P = [1 8]')
xlabel('x')
ylabel('Degree of Membership')
ylim([-0.05 1.05])

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| x | 输入值，可以是标量或向量，用于计算隶属度值。 |
| params | 隶属函数参数，为长度为 2 的向量 [a b] ，a 定义隶属函数的底部，b 定义其肩部。 |

输出参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| y | 隶属度值，返回为标量或向量，其维度与 x 匹配，y 中的每个元素是为 x 中对应元素计算的隶属度值。 |

替代功能 ：
可以使用 fismf 对象实现 smf 隶属函数：

mf = fismf("smf",P);
Y = evalmf(mf,X);

这里的 X、P 和 Y 分别对应 smf 的 x、params 和 y 参数。

扩展功能 ：
可以使用 MATLAB Coder 生成 C 和 C++ 代码。

3. subclust 函数

subclust 函数用于使用减法聚类查找聚类中心。

语法 ：

centers = subclust(data,clusterInfluenceRange)
centers = subclust(data,clusterInfluenceRange,Name,Value)
[centers,sigma] = subclust( ___ )

描述 ：
centers = subclust(data,clusterInfluenceRange) 使用指定的聚类影响范围对输入数据进行减法聚类，并返回计算出的聚类中心。减法聚类算法会估计输入数据中的聚类数量。 centers = subclust(data,clusterInfluenceRange,Name,Value) 使用一个或多个名称 - 值参数指定的算法选项对数据进行聚类。 [centers,sigma] 还会返回指定每个数据维度中聚类中心影响范围的 sigma 值。

示例 ：
- 使用相同影响范围查找聚类中心 ：

load clusterDemo.dat
C = subclust(clusterDemo,0.6);

C 的每一行包含一个聚类中心。

• 指定减法聚类的边界 ：

load clusterDemo.dat
dataScale = [-0.2 -0.2 -0.2;
              1.2  1.2  1.2];
C = subclust(clusterDemo,0.5,'DataScale',dataScale);

• 指定减法聚类的选项 ：

load clusterDemo.dat
options = [2.0 0.8 0.7 0];
C = subclust(clusterDemo,[0.5 0.25 0.3],'Options',options);

• 获取每个数据维度的聚类影响范围 ：

load clusterDemo.dat
[C,S] = subclust(clusterDemo,0.5);

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| data | 要聚类的数据集，为 M×N 数组，M 是数据点的数量，N 是数据维度的数量。 |
| clusterInfluenceRange | 聚类中心的影响范围，可以是范围在 [0, 1] 内的标量值，也可以是向量。标量值表示对所有输入和输出使用相同的影响范围，向量表示对每个输入和输出使用不同的影响范围。较小的影响范围通常会创建更多更小的数据聚类，产生更多的模糊规则。 |

名称 - 值对参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| DataScale | 数据缩放因子，默认值为 ‘auto’，也可以是 2×N 数组，用于将输入和输出数据归一化到单位超立方体中。当为 ‘auto’ 时，genfis 命令使用要聚类的数据中的实际最小值和最大值。 |
| Options | 聚类选项，为向量，包含以下元素：
- Options(1)：压缩因子，默认值为 1.25，为正标量，较小的压缩因子会减少离群点被视为聚类一部分的可能性，通常会创建更多更小的数据聚类。
- Options(2)：接受比率，默认值为 0.5，范围在 [0, 1] 内的标量值，定义为第一个聚类中心潜力的一部分，高于此值的另一个数据点将被接受为聚类中心，接受比率必须大于拒绝比率。
- Options(3)：拒绝比率，默认值为 0.15，范围在 [0, 1] 内的标量值，定义为第一个聚类中心潜力的一部分，低于此值的另一个数据点将被拒绝为聚类中心，拒绝比率必须小于接受比率。
- Options(4)：信息显示标志，默认值为 false，为布尔值，false 表示不显示聚类过程中的进度信息，true 表示显示。 |

输出参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| centers | 聚类中心，返回为 J×N 数组，J 是聚类的数量，N 是数据维度的数量。 |
| sigma | 聚类中心的影响范围，为 N 元素行向量，所有聚类中心具有相同的 sigma 值集。 |

提示 ：
要使用减法聚类生成模糊推理系统，可以使用 genfis 命令，步骤如下：
1. 配置聚类选项：

opt = genfisOptions('SubtractiveClustering');
opt.ClusterInfluenceRange = clusterInfluenceRange;
opt.DataScale = dataScale;
opt.SquashFactor = options(1);
opt.AcceptRatio = options(2);
opt.RejectRatio = options(3);
opt.Verbose = options(4);

2. 提取输入和输出变量数据：

inputData = data(:,1:M);
outputData = data(:,M+1:end);

3. 生成 FIS 结构：

fis = genfis(inputData,outputData,opt);

生成的模糊系统 fis 为每个聚类包含一个模糊规则，每个输入和输出变量每个聚类有一个隶属函数，使用减法聚类只能生成 Sugeno 模糊系统。

算法流程 ：

graph TD;
    A[计算每个数据点成为聚类中心的可能性，基于周围数据点的密度] --> B[选择潜力最高的数据点作为第一个聚类中心];
    B --> C[移除第一个聚类中心附近的所有数据点，附近范围由 clusterInfluenceRange 确定];
    C --> D[选择剩余点中潜力最高的点作为下一个聚类中心];
    D --> E{所有数据是否都在聚类中心的影响范围内};
    E -- 否 --> C;
    E -- 是 --> F[结束];

4. surfview 函数

surfview 函数用于打开表面查看器。

语法 ：

surfview(fis)
surfview(fileName)

描述 ：
使用表面查看器查看模糊系统的输出表面，需要指定 FIS 的输入和输出变量、它们对应的隶属函数以及系统的模糊规则。 surfview(fis) 打开表面查看器并加载模糊推理系统 fis， surfview(fileName) 打开表面查看器并从指定文件加载模糊推理系统。

示例 ：

fis = readfis('tipper');
surfview(fis)

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| fis | 模糊推理系统，可以是 mamfis 对象、sugfis 对象、mamfistype2 对象或 sugfistype2 对象。 |
| fileName | 文件名，指定为字符串或字符向量，可以包含或不包含 .fis 扩展名，该文件必须在当前工作目录或 MATLAB 路径中。 |

提示 ：
- 对于有两个以上输入变量的系统，可以查看任意两个输入的输出表面，需使用参考输入值为其他输入信号指定常量参考值。
- 默认情况下，当更改输入或输出变量选择或网格点数时，表面图会自动更新。要禁用自动绘图更新，在选项菜单中清除“Always evaluate”选项，禁用后，点击“Evaluate”更新绘图。
- 要创建更平滑的绘图，增加“Plot points”值。
- 要从不同角度查看表面，在绘图区域点击并拖动。

兼容性考虑 ：
从 R2019b 开始警告，未来版本将移除对将模糊推理系统表示为结构的支持，建议使用 mamfis 和 sugfis 对象。可以使用 convertfis 函数将现有的模糊推理系统结构转换为对象。

5. trapmf 函数

trapmf 函数用于计算基于梯形隶属函数的模糊隶属度值。

语法 ：

y = trapmf(x,params)

描述 ：
该函数通过梯形隶属函数计算模糊隶属度值，也能使用 fismf 对象来计算。相关的隶属函数有 trimf、linsmf 和 linzmf。计算公式为：
[f(x; a, b, c, d) = \max\left(\min\left(\frac{x - a}{b - a}, 1, \frac{d - x}{d - c}\right), 0\right)]
要定义隶属函数参数，需将 params 指定为向量 [a b c d] ，并为 x 中的每个输入值计算隶属度值。

示例 ：

x = 0:0.1:10;
y = trapmf(x,[1 5 7 8]);
plot(x,y)
title('trapmf, P = [1 5 7 8]')
xlabel('x')
ylabel('Degree of Membership')
ylim([-0.05 1.05])

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| x | 输入值，可以是标量或向量，用于计算隶属度值。 |
| params | 隶属函数参数，为长度为 4 的向量 [a b c d] 。b 和 c 定义隶属函数的肩部，a 和 d 定义其底部。隶属函数的形状取决于 b 和 c 的相对值，当 c > b 时为梯形；当 b = c 时等同于参数为 [a b d] 的三角形隶属函数；当 c < b 时为最大值小于 1 的三角形。 |

输出参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| y | 隶属度值，返回为标量或向量，其维度与 x 匹配，y 中的每个元素是为 x 中对应元素计算的隶属度值。 |

替代功能 ：
可以使用 fismf 对象实现 trapmf 隶属函数：

mf = fismf("trapmf",P);
Y = evalmf(mf,X);

这里的 X、P 和 Y 分别对应 trapmf 的 x、params 和 y 参数。

扩展功能 ：
可以使用 MATLAB Coder 生成 C 和 C++ 代码。

6. trimf 函数

trimf 函数用于计算基于三角形隶属函数的模糊隶属度值。

语法 ：

y = trimf(x,params)

描述 ：
该函数通过三角形隶属函数计算模糊隶属度值，也可使用 fismf 对象计算。相关的隶属函数有 trapmf、linsmf 和 linzmf。计算公式如下：
[
f(x; a, b, c) =
\begin{cases}
0, & x \leq a \
\frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \
\frac{c - x}{c - b}, & b \leq x \leq c \
0, & c \leq x
\end{cases}
]
或更简洁地表示为：
[f(x; a, b, c) = \max\left(\min\left(\frac{x - a}{b - a}, \frac{c - x}{c - b}\right), 0\right)]
要定义隶属函数参数，需将 params 指定为向量 [a b c] ，并为 x 中的每个输入值计算隶属度值。

示例 ：

x = 0:0.1:10;
y = trimf(x,[3 6 8]);
plot(x,y)
title('trimf, P = [3 6 8]')
xlabel('x')
ylabel('Degree of Membership')
ylim([-0.05 1.05])

输入参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| x | 输入值，可以是标量或向量，用于计算隶属度值。 |
| params | 隶属函数参数，为长度为 3 的向量 [a b c] ，a 和 c 定义隶属函数的底部，b 定义其峰值。 |

输出参数 ：
| 参数 | 描述 |
| ---- | ---- |
| y | 隶属度值，返回为标量或向量，其维度与 x 匹配，y 中的每个元素是为 x 中对应元素计算的隶属度值。 |

替代功能 ：
可以使用 fismf 对象实现 trimf 隶属函数：

mf = fismf("trimf",P);
Y = evalmf(mf,X);

这里的 X、P 和 Y 分别对应 trimf 的 x、params 和 y 参数。

扩展功能 ：
可以使用 MATLAB Coder 生成 C 和 C++ 代码。

函数对比总结

函数名	功能	输入参数	输出参数	相关函数	替代功能	扩展功能
sigmf	计算 S 形隶属函数的模糊隶属度值	x（标量或向量），params（向量 [a c] ）	y（标量或向量）	dsigmf、psigmf	fismf 对象	C/C++ 代码生成
smf	计算样条基 S 形隶属函数的模糊隶属度值	x（标量或向量），params（向量 [a b] ）	y（标量或向量）	zmf、pimf	fismf 对象	C/C++ 代码生成
subclust	使用减法聚类查找聚类中心	data（M×N 数组），clusterInfluenceRange（标量或向量）等	centers（J×N 数组），sigma（N 元素行向量）
surfview	打开表面查看器	fis（模糊推理系统对象），fileName（文件名）
trapmf	计算梯形隶属函数的模糊隶属度值	x（标量或向量），params（向量 [a b c d] ）	y（标量或向量）	trimf、linsmf、linzmf	fismf 对象	C/C++ 代码生成
trimf	计算三角形隶属函数的模糊隶属度值	x（标量或向量），params（向量 [a b c] ）	y（标量或向量）	trapmf、linsmf、linzmf	fismf 对象	C/C++ 代码生成

操作建议

• 隶属函数使用 ：在选择隶属函数时，根据实际问题的特点进行选择。例如，如果需要一个平滑过渡的隶属函数，可以选择 sigmf 或 smf；如果需要简单的线性隶属函数，可以选择 trapmf 或 trimf。
• 聚类操作 ：在使用 subclust 进行聚类时，合理设置聚类影响范围和其他参数。较小的聚类影响范围会产生更多的聚类，但可能会导致过拟合；较大的聚类影响范围会产生较少的聚类，但可能会丢失一些细节信息。
• 表面查看 ：使用 surfview 查看模糊系统输出表面时，根据需要调整绘图参数，如“Plot points”值，以获得更平滑的绘图效果。

通过对这些函数和聚类方法的了解和应用，可以更好地处理模糊逻辑问题，构建更有效的模糊系统。