Kmeams聚类算法详解

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一、聚类任务的简介

聚类是机器学习中一类重要的无监督学习任务，其核心目标是在没有预设标签的情况下，通过分析样本间的内在相似性，将数据集自动划分为若干个具有共同特征的“簇”（Cluster）。

1.1 聚类的核心特征

• 无监督性：无需人工标注训练数据的类别标签，完全依赖数据自身的特征分布进行划分；
• 相似性度量：通过距离（如欧式距离、曼哈顿距离）或相似度（如余弦相似度）判断样本关联程度，距离越小则样本越相似；
• 簇内一致性：同一簇内的样本应具有较高的相似度，不同簇间的样本应具有显著差异。

1.2 聚类的典型应用场景

• 用户分群：根据消费习惯、浏览行为等特征将用户划分为不同群体，支撑精准营销；
• 异常检测：远离所有簇的样本可能是异常值（如信用卡欺诈交易、设备故障数据）；
• 数据降维与可视化：将高维数据聚成少数簇，简化分析复杂度；
• 生物学研究：对基因表达数据聚类，发现功能相似的基因族群。

聚类算法种类繁多，其中Kmeans因原理简单、计算高效，成为实际应用中最广泛的聚类方法之一。

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二、Kmeans的思想和数学原理

2.1 核心思想

Kmeans算法（K-均值聚类）的核心思想是：通过迭代优化K个簇中心，使每个样本被分配到距离最近的簇，最终实现“簇内样本紧凑、簇间样本分散”的目标。

通俗来说，Kmeans就像“物以类聚”的过程：先随机选择K个“种子”（初始簇中心），然后让每个样本“投靠”最近的种子，再根据投靠的样本重新计算新的种子位置，重复此过程直到种子位置不再变化。

2.2 数学原理

1. 距离度量
   Kmeans采用欧式距离衡量样本与簇中心的相似度。对于d维特征空间中的样本$x=(x_1,x_2,...,x_d)$和簇中心$c=(c_1,c_2,...,c_d)$，欧式距离公式为：
   $$d(x,c)=\sqrt{\sum _{i=1}^d(x_i-c_i{)}^2}$$

2. 目标函数
   Kmeans的优化目标是最小化所有样本到其所属簇中心的距离平方和（SSE，误差平方和），公式为：
   $$\min J=\sum _{j=1}^K\sum _{x\in C_j}d(x,c_j{)}^2$$
   其中：

   • $K$为预设的簇数量；
   • $C_j$表示第$j$个簇包含的样本集合；
   • $c_j$表示第$j$个簇的中心（由簇内样本的均值计算得到）。

3. 簇中心更新规则
   当样本分配完成后，每个簇的中心通过簇内所有样本的特征均值更新，公式为：
   $$c_j=\frac{1}{|C_j|}\sum _{x\in C_j}x$$
   其中$|C_j|$为第$j$个簇的样本数量。

4. 迭代收敛条件
   算法通过反复执行“样本分配→更新簇中心”过程实现优化，当满足以下条件之一时停止迭代：

   • 簇中心的变化量小于预设阈值（如$10^{-4}$）；
   • 达到最大迭代次数（避免无限循环）。

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三、Kmeans计算过程示例

以一个简单的二维数据集为例，详细演示Kmeans的聚类步骤（取$K=2$）。

3.1 数据集

假设有5个样本，特征坐标如下：
$A(1,2)$、$B(2,1)$、$C(6,5)$、$D(7,7)$、$E(8,6)$

3.2 步骤1：确定K值并初始化簇中心

• 设定$K=2$（目标是将数据分为2个簇）；
• 随机选择2个样本作为初始簇中心：
  $c_1=A(1,2)$（簇1的初始中心），$c_2=D(7,7)$（簇2的初始中心）。

3.3 步骤2：计算样本到簇中心的距离并分配簇

分别计算每个样本到$c_1$和$c_2$的欧式距离，将样本分配给距离更近的簇：

• $A$到$c_1$的距离：$d(A,c_1)=0$；到$c_2$的距离：$\sqrt{(1-7{)}^2}$