11、链星的多项式算法

链星的多项式算法

1. 引言

链星是一种特殊的图结构，它由多个链（chain）组成，所有链均从一个共同的顶点出发。这种结构在图论和组合优化领域具有重要意义，尤其是在最小边着色（MEC, Minimum Edge Coloring）问题的研究中。本文将详细介绍链星结构及其在MEC问题中的多项式时间算法，涵盖其定义、最优解特性及具体算法实现。

2. 链星结构

链星是由若干条链构成的图，每条链都从一个公共顶点开始。形式上，设链星由 ( p ) 条链 ( C_1, C_2, \ldots, C_p ) 组成，每条链 ( C_i ) 从同一顶点 ( u ) 出发，链中的每个边 ( e ) 可以表示为 ( e_{ij} )，其中 ( i ) 表示链编号，( j ) 表示链中的位置。链星的一个典型例子如下所示：

graph TD;
    A[Common Vertex u] --> B[Edge e_11];
    A --> C[Edge e_21];
    B --> D[Edge e_12];
    C --> E[Edge e_22];
    D --> F[Edge e_13];
    E --> G[Edge e_23];

3. 最优解特性

在链星上解决MEC问题时，最优解具有一些独特的特性。根据文献中的引理11.6，对于链星的MEC问题，有以下几点重要结论：

1. 匹配数量 ：最优解中的匹配数量 ( s^* ) 等于链的