高数下第一课二阶与多阶齐次、非齐次微分方程

最新推荐文章于 2025-01-24 12:44:38 发布

谨慎的海绵

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分类专栏：高数下

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本文详细探讨了线性微分方程的理论，包括齐次与非齐次的区别、解的叠加原理、线性相关与线性无关的概念。通过实例解析了二阶线性微分方程的解法，如特征方程、特解的寻找，以及如何处理复根和重根。此外，还介绍了如何利用线性代数知识解决高阶微分方程，并强调了解的叠加在求解过程中的重要性。

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定义

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定义很好理解，看最高有几阶导就行，齐次与非齐次的区别看右边无y的项是否为零
接下来我们换一种表达方式，一般于更好地研究：

二阶齐次线性微分方程

解的叠加

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这样的处理可以让解的形式更加简洁，也便于理解的叠加原理

线性相关与线性无关

注：以下用到线性代数的知识，但这个我是上个学期自学的，可能会有错误。
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就记两条准则来判断线性相关性：
1.一组东西中的一个可以用其他的表示，那么这组就是线性相关的，反之，如果找不到一组不全为零的系数使一个能被其他的表示（要恒成立才行），就是线性无关的。从几何的角度讲，一组向量能不能作为基底，有多余的就是线性相关组，没有多余的就是线性无关的。
2.有零的组都是线性相关的

通解问题

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就是说对于一个n阶的微分方程，我们选出n个线性无关的特解，用他们就可以线性表示所有解。然后原因嘛，老师上课也没讲，我也想不出来怎么证，那我就建个模型帮助理解，这个模型很不严谨，就是有这样一个解空间，它的维数和微分方程的阶数一样，然后每一个解都是一个向量，那么我们是不是找n个线性无关的特解就能表示所有解了

二阶非齐次线性微分方程

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这个东西在线性代数中出现过，那我就作一些无端的猜想，微分方程就是一个变量个数与它阶数相同的线性方程组，那么方程的通解就是它的导出组的通解加上一个特解。

解的叠加定理

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这个用矩阵一表示很显然的，然后拓展一下

这个可以从计算后解的结构（后面那坨还是y0，前面不用管）或者是解的叠加原理来解释（后面还是f（x））

这个的话那两个解减一减，后面y0消掉，前面不为零（因为这是两个不同的解，前面的Y部分不可能一样，那么相减后至少留下一个导出组的特解）
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这个秒杀，就看y0的系数，不为1的全部排除，好，选D
证一下D为什么是通解，老师的做法是假设y1-y3和y2-y3是线性相关的，然后就有这个式子，化简后很容易得到三个前面的系数根本做不到全部为零，而y1y2y3是可以乱动的（这样吧我们固定y1y2,然后让y3放飞自我，这肯定管不住），所以这两个是线性无关的，然后这两个又是导出组的特解，于是就证完了
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但是感觉不够直观，然后我没想出直观的解法

这题，找一个二阶非齐次微分方程的通解，我们要找到，一个原方程的特解，两个线性无关的导出组的特解，前面的给了三个随便选一个就成了，关键是导出组的两个特解，根据通解的结构，找两个减一减，发现又刚好线性无关，没错，就是这两个了，最后代入初始条件得到系数就行了。
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这题也很简单，减一减得到导出组的两个线性无关特解，代入解出导出的方程，然后挑一个特解代入得到f（x），这个比直接建三个方程要好，因为解齐次肯定要比非齐次好吧

二阶常系数齐次线性微分方程

上面都是讲解的关系，这里就可以正真地去解方程了
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就是对于这个形式，我们猜到e^(rx)这个结构肯定可以待定出特解
然后化简就得到了一个关于r的二次方程，下面分三种情况
Δ>0，直接两个解，没什么事了；
Δ=0，只有一个，得再凑出一个才行，

常见的凑法把系数换成关于x的式子，代入整理一看发现后面两项没了直接得到解，然后这里是得到特解所以直接取x
Δ<0,只有两个复根，直接写复根不太好，处理一下
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用个欧拉公式再凑出两个实数的特解就行了，直接背公式方便实在忘了现推也行。先推的话，注意要用欧拉公式就行了。

推广到高阶常系数线性微分方程

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由代数基本定理得到一个n次的方程一定有n个复数域内的根，然后有几个根（包括重根）就说明可以找到几个线性无关的特解（看可变的系数个数），然后两个的变化规律都是x次数增加。

这两个例子就是先得到特征方程，然后解出能解的，在处理重根和复数根，最后将他们线性组合即可。
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观察根使不要管系数直接看形式，e^x就是有实根，e^(cos …sin)的就是有复根，在得到根是什么，再看x的次数得到有几重根，最后写出特征方程。

二阶常系数非齐次线性微分方程

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就是先得到导出组的通解再找个特解
关键是如何找特解
看一些特殊的f（x）

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其实如果题目给了实际的数，直接代入那个形式看两边x的次数再设出来就行了。如果有参数就关注那两坨是否为零的情况。

这个简单，不说了

这个就是利用解的叠加定理，然后求出特征根判断u（x）的形式
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先用欧拉公式将cos，sin换掉，再根据里面e的指数整理，发现这两个是共轭的，（这里用到了共轭的乘积等于乘积的共轭，还有有人可能会对e的那坨感到疑惑，其实只要用欧拉公式将他展开就可以看出明显是共轭的）
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得到两坨共轭的东西后，我们逐个处理，再利用解的叠加性质相加即可，这里直接给出了一个结论就是那个重根（与之前那个landa一样）
与特解的形式，然后就是对这个式子两边取共轭后发现解的共轭恰好就是另一个方程的解
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然后我们把这两个特解加起来（必然是实数，因为是一个复数加它的共轭），那么就得到了最终结论。

总结一下，两个类型都是先得到特征方程，然后找到landa（两个不一样，一个是实数，另一个是虚数），然后来确定重根个数来得到要乘x的几次，特解形式就是x的几次乘e的landa次（复数与实数，其中复数那个是实部）再乘以原来的m次x的多项式（复数那个是有关cos，sin的）
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这题里的xcos2x前的x就相当于是Pm（x），只是后面带了个cos或sin，所以待定为ax+b