32、线性代数方程组的矩阵解法

线性代数方程组的矩阵解法

1. 求解 2×2 方程组

1.1 可视化求解

考虑以下 2×2 方程组：
(x_1 + 2x_2 = 2)
(2x_1 + 2x_2 = 6)

为了可视化求解，将两个方程转化为直线方程 (y = mx + b) 的形式，把 (x_1) 换为 (x)，(x_2) 换为 (y)：
- (x + 2y = 2) 转化为 (y = -0.5x + 1)
- (2x + 2y = 6) 转化为 (y = -x + 3)

在 MATLAB 中，可以使用以下脚本绘制这些直线：

% Plot a 2 by 2 system as straight lines
x = -2:5;
y1 = -0.5 * x + 1;
y2 = -x + 3;
plot(x,y1,x,y2)
axis([-2 5 -4 6])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Visualize 2 x 2 system')

这两条直线的交点是 ((4, -1))，即 (x = 4)，(y = -1)。换回 (x_1) 和 (x_2)，则 (x_1 = 4)，(x_2 = -1)。

1.2 矩阵形式求解

该方程组的矩阵形式为：
(\begin{bmatrix}1 & 2\2 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\6\end{bm