12、电磁学中对称边界条件的实现

电磁学中对称边界条件的实现

1. 数学公式推导

在电磁学中，对于电磁波的传播，电场 $\mathbf{E}$ 的麦克斯韦控制方程可以表示为：
[
\frac{\epsilon_r}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} + \nabla\times\left(\frac{1}{\mu_r}\nabla\times \mathbf{E}\right) = \mathbf{0}
]
其中，$\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}$ 是相对介电常数，$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ 是相对磁导率，$\epsilon_0$ 和 $\mu_0$ 分别是真空的介电常数和磁导率，$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$ 是光速。

2. 谐波分析

对于谐波分析，上述方程可以写为：
[
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu_r}\nabla\times \mathbf{E}\right) - \frac{k^2}{\mu}\mathbf{E} = -i\omega\mathbf{j}
]
这里，$\mathbf{j}$ 是电流密度，$i = \sqrt{-1}$，$\mu$ 是磁导率，$k = k_0\sqrt{\mu_r\epsilon_r}$ 是介质的波数，$k_0 = \frac{\omega}{c}$ 是真空的波数，$\omega$ 是激励