21、未校准相机的相对定位技术解析

未校准相机的相对定位技术解析

1. 3D 视觉问题概述

在 3D 视觉领域，存在诸多关键问题，如单目视觉中图像点的反投影、空间点的投影，立体视觉中对极几何的确定以及相机光心的定位等。传统方法通常需要对视觉系统进行校准，计算相机的内参和外参。内参包括光心在图像平面投影的坐标、图像平面帧轴的单位和焦距，以及两轴之间的夹角；外参则用于将相机相关坐标系与固定世界坐标系关联起来。

常见的校准方式有两种：一是分别明确校准相机的内参和外参，此过程往往繁琐且不稳定；二是用一个 4x3 的投影矩阵对整个成像系统进行建模，这种方式相对简单且通常足够。然而，视觉的核心问题是将所见与参考点关联起来，本文提出利用投影性质，通过直接且简单的几何构造来解决这些问题，无需直接校准，只需场景参考点即可。

2. 投影几何的基础概念

• 投影空间与齐次坐标 ：考虑 $R^{n + 1} - {(0, \ldots, 0)}$ 并定义等价关系 $(x_1, \ldots, x_{n + 1}) \sim (x_1’, \ldots, x_{n + 1}’)$，当存在 $\lambda \neq 0$ 使得 $(x_1, \ldots, x_{n + 1}) = \lambda(x_1’, \ldots, x_{n + 1}’)$ 时，由此等价关系得到的商空间即为投影空间 $P^n$。投影基是 $P^n$ 中一组线性独立的 $n + 1$ 个点，任意点 $x$ 可表示为基的线性组合。齐次坐标满足该等式的 $(n + 1)$ 元组 $( \lambda a_i ) {i = 1, \ldots, n + 1}$ 被称为点 $x$ 在基 $(e