37、确定性频率自动机的规模复杂度剖析

确定性频率自动机的规模复杂度剖析

1. 频率计算概念引入

频率计算的概念由Rose提出，旨在构建一种具有类似概率算法特性的绝对确定性机制。对于一个函数$f : N → N$，若存在递归函数$R: N^n → N^n$，使得对于所有$n$元组$(x_1, · · ·, x_n) ∈ N^n$（其中$x_i$为互不相同的自然数），满足$card{i | (R(x_1, · · ·, x_n))_i = f(x_i), 1 ≤ i ≤ n} ≥ m$，则称$f$是$(m, n)$ - 可计算的。

Trakhtenbrot证明了，当$2m > n$时，$f$是递归的；而当$2m = n$时，存在不可递归的函数可以进行$(m, n)$ - 计算。Kinber进一步研究了集合的频率枚举，发现$(m, n)$ - 可计算集合类等于递归集合类的充要条件是$2m > n$。

频率计算还可扩展到其他计算模型，如多项式时间内的频率计算。在资源受限计算中，频率可计算性的行为与无资源限制时不同。但对于有限自动机，Trakhtenbrot的结果依然成立，即由确定性频率自动机$(m, n)$ - 可识别的语言类等于正则语言类的充要条件是$2m > n$。

2. 确定性频率自动机定义

确定性频率自动机是对确定性有限自动机概念的扩展。设$A = [Q, Σ, #, δ, q_0, τ, n]$，其中：
- $n$是一个自然数且$n ≥ 1$；
- $Q$是有限状态集；
- $q_0$是初始状态；
- $Σ$是有限字母表；
- $#$是一个新符号且$# ∉ Σ$；
- $δ: Q×(Σ∪{#})