27、正则表达式与发夹表达式的双边导数及字符串编辑问题

正则表达式与发夹表达式的双边导数及字符串编辑问题

在语言理论的研究中，发夹完成（hairpin completion）和字符串编辑距离是两个重要的研究方向。下面我们将详细探讨这两个方面的内容。

发夹完成相关概念

• 基本定义
  • 对合与反态射 ：设 Γ 是一个字母表，Γ 上的对合 f 是一个从 Γ 到 Γ 的映射，满足对于 Γ 中的任意符号 a，f(f(a)) = a。Γ ∗上的反态射 μ 是一个从 Γ ∗到 Γ ∗的映射，满足对于 Γ ∗中的任意两个单词 u 和 v，μ(u · v) = μ(v) · μ(u)。任何从 Γ 到 Γ 的映射 g 都可以扩展为 Γ ∗上的反态射，即 ∀a ∈Γ, ∀w ∈Γ ∗, g(ε) = ε, g(a · w) = g(w) · g(a)。
  • (H, k)-完成 ：设 Γ 是字母表，H 是 Γ ∗上的反态射，L1 和 L2 是 Γ 上的两个语言，k > 0 是整数。L1 和 L2 的 (H, k)-完成是语言 Hk(L1, L2)，定义为：
    [Hk(L1, L2) = {αβγH(β)H(α) | α, β, γ ∈Γ ∗∧(αβγH(β) ∈L1 ∨βγH(β)H(α) ∈L2) ∧|β| = k}]
  • 右和左 (H, k)-完成 ：设 L 是 Γ 上的语言，右 (H, k)-完成 (\overrightarrow{Hk}(L)) 和左 (H, k)-完成 (\overleftarrow{Hk}(L)) 分