12、关于图与自动机的研究：判定与构造

关于图与自动机的研究：判定与构造

在计算机科学领域，图和自动机是非常重要的研究对象。本文将介绍如何判定图中是否存在特定的元路径，以及如何构造一类通常非最小化的自动机，涵盖了具体的判定方法和概率分析。

图中特定元路径的判定

在给定的图 $G$ 中，我们关注是否存在具有特定性质的元路径。具体来说，我们要判断图 $G$ 中是否存在恰好包含两个循环的元路径 $\tau$，使得 $L(\tau)$ 包含一个无限反链。

首先，我们定义了一系列集合 $N_i$，其中 $N_0 = {q_0}$。这些集合并不一定是不相交的，每个集合最多包含 $n$ 个节点，并且当 $i > n$ 时，集合 $N_i$ 为空，因为图 $G’‘$ 是无环的。

为了判定是否存在满足条件的元路径，我们需要解决两个问题：

问题 (1) ：对于顶点 $x \in N_i$（$i > 0$），假设存在一条有向路径将 $x$ 连接到 $c_1 \in N_j$（$j > i$）。我们检查从 $N_{i - 1}$ 中的顶点到 $x$ 的至少两条边是否用字母表中的不同字母标记。如果是这样，那么显然存在一条路径 $\rho_0$ 通过 $x$ 连接 $q_0$ 到 $c_1$，使得对应的单词 $\gamma_0 = w(\rho_0)$ 不是 $\alpha_{\rho_0}^1$ 的幂的左扩展。如果对于每个 $i$ 和每个顶点 $x \in N_i$，从 $N_{i - 1}$ 到 $x$ 的所有边都具有相同的标签，并且该标签与 $\alpha_{\rho_0}^1$ 的相应字母（从 $\alpha_{\rho_0}^1$ 的末尾循环