30、矩阵补全方法与MATLAB代码实现

矩阵补全方法与MATLAB代码实现

1. 矩阵补全方法概述

在动态MRI成像中，由于连续时间点采集的图像之间存在高度相关性，矩阵可以用主导奇异值来表示，因此可以近似为低秩矩阵。部分可分离稀疏（PS - sparse）算法中，Casorati矩阵可以表示为矩阵分解形式 (X = UV)，其中 (U) 表示 (X) 的空间子空间的基，(V) 表示 (X) 的时间子空间的基。

另一种基于低秩加稀疏方法的动态MRI重建方法由Otazo等人提出。与PS - sparse方法将 (X) 视为低秩且稀疏不同，该方法将 (X) 分解为低秩分量 (L) 和稀疏分量 (S) 的线性组合。

基于低秩加稀疏（(L + S)）矩阵分解模型的动态成像重建模型也称为鲁棒主成分分析（RPCA）。在该分析中，低秩分量对背景进行建模，稀疏分量对动态变化进行建模。在特定条件下，仅使用部分观测值恢复低秩加稀疏分量的可能性已得到深入研究。对于动态图像，使用RPCA的方法涉及从部分采集的 ((k, t)) 空间重建图像。

1.1 RPCA原理

RPCA，也称为低秩加稀疏分解，将给定矩阵 (X \in \mathbb{C}^{N_x \times N_y}) 分解为低秩分量 (L) 和稀疏分量 (S)，使得 (X = L + S)。数学上，这等价于求解：
[
\min_{L, S} \text{rank}(L) + \lambda |S| 0 \quad \text{s.t.} \quad L + S = X
]
由于上述公式难以求解，采用更易处理的形式，利用每个项的凸关系：
[
\min {L, S