25、Visibly Pushdown Automata：通用性与包含性的反链算法解析

Visibly Pushdown Automata：通用性与包含性的反链算法解析

1. 引言

在形式语言与自动机理论领域，可见下推自动机（Visibly Pushdown Automata，VPAs）是一种强大的工具，用于处理特定类型的语言。传统上，检查VPAs的通用性问题通常采用确定化、求补和检查空集的标准方法，但这种方法在某些情况下会导致指数级的时间复杂度。本文将介绍一种基于反链的优化算法，旨在避免这种指数级的膨胀，并提供高效的通用性和包含性检查方法。

2. 基础概念

• 无序树与树篱 ：
  • 无序树是一种树形结构，树篱则是无序树的集合，空树篱用 $\epsilon$ 表示，所有树篱的集合用 $H_{\Sigma}$ 表示。
  • 对于树 $t$，以节点 $p$ 为根的子树记为 $t|_p$，其定义域是满足 $pp’ \in nodes(t)$ 的节点 $p’$ 的集合，且 $t|_p(p’) = t(pp’)$。
  • 树的高度是其最长分支的长度（节点数）。
• 树的线性化 ：树可以用平衡单词来描述，对应于树的深度优先遍历。对于每个 $a \in \Sigma$，$a$ 表示开放标签，$\overline{a}$ 表示关闭标签。树 $t \in T_{\Sigma}$ 的线性化 $[t]$ 定义为：$[t] = a [t|_1] \cdots [t|_n] \overline{a}$，其中 $a = t(\epsilon)$，根节点有 $n$ 个子节点。