9、并行MRI中正则化图像重建的l1正则化问题求解方法

并行MRI中正则化图像重建的l1正则化问题求解方法

1. 正交变换与模型选择

在并行MRI的图像重建中，正交变换和紧框架变换有着不同的特性。例如离散小波变换（DWT）是正交变换，有限差分是紧框架变换。使用DWT时，小波域的数据可以通过逆变换回到图像域，但像有限差分这样的紧框架变换则无法实现。根据变换是正交还是紧框架，需要使用合成或分析模型。
- 分析模型 ：寻找变换系数稀疏的信号x。
- 合成模型 ：直接寻找解决欠定线性模型的稀疏系数，再通过逆变换得到信号。

利用变换域稀疏性，l1正则化可以通过合成模型求解，即最小化稀疏域图像的l1范数：
- 约束形式：
- $\min_{w} |w| 1$
- 约束条件：$|b - A^T\Psi w|_2^2 \leq \varepsilon$
- 无约束拉格朗日形式：
- $\min {w} |b - A^T\Psi w|_2^2 + \lambda |w|_1$

分析模型为：
- $\min_{x} |b - Ax|_2^2 + \lambda |\Psi x|_1$

对于该优化问题，非线性阈值算子可以恢复稀疏变换的重要系数，从而恢复丢失的图像信息。

2. l1正则化问题的求解方法概述

考虑最小化具有一般形式的二次可微损失函数的l1正则化问题：
- $\min_{x} f(x) = L(x) + \lambda |x|_1$
其中$L(x)$是有下界的二次可微损失函数。由于组合目标