35、博弈算法与深度学习的数学基础

博弈算法与深度学习的数学基础

1. 博弈中的搜索算法

在博弈中，考虑所有可能的落子位置并持续进行，直至游戏结束。以 3×3 的井字棋为例，先手有 9 种可能的落子选择，后手有 8 种，先手再落子又有 7 种，所以可能的游戏轨迹（游戏树）数量相当庞大。不过，在对手不采用相同策略的情况下，通过这种暴力穷举搜索能保证在井字棋中获胜。

对于像国际象棋这样的复杂游戏，游戏树过于庞大，无法进行完全的暴力搜索，必须限制考虑的潜在落子数量。例如，深蓝（Deep Blue）使用了一种比穷举搜索更高效的树搜索算法，但它没有学习能力，本质上还是搜索可能的轨迹并计算哪些能导向获胜状态。

另一种方法是蒙特卡罗树搜索，它通过随机采样一组潜在行动并从该点扩展树，而非考虑所有可能的行动。DeepMind 开发的 AlphaGo 算法结合了暴力搜索和深度神经网络。它使用深度神经网络评估哪些行动值得进行树搜索，并确定所选落子的价值，这种组合算法目前是国际象棋和围棋等游戏的先进方法。

2. 深度学习的数学基础

深度学习算法（也称为人工神经网络）本质上是相对简单的数学函数，主要需要理解向量和矩阵。而训练神经网络则需要掌握微积分的基础知识，特别是导数。

2.1 线性代数

线性代数研究线性变换。线性变换满足 (T(a + b) = T(a) + T(b)) 和 (T(a ⋅ b) = a ⋅ T(b))，它能保持加法和乘法运算。可以将线性变换想象成把钱转换成其他资源（如黄金），无论投入多少资金，黄金的单价保持不变；而非线性变换可能会提供“批量折扣”。

从微积分的角度看，函数将输入值 (x) 映射到输出值 (y)，导数