26、量子计算：从算法到物理实现

量子计算：从算法到物理实现

1. Shor 因式分解算法

Shor 因式分解算法是量子计算领域的一项重要成果，它能够在足够大的量子计算机上以多项式时间对整数进行因式分解，相较于已知的最佳经典方法有了近乎指数级的改进。该算法由经典和量子两部分组成，需要在两种类型的计算机上协同工作以得出结果。

1.1 算法复杂度

整体算法的复杂度主要由量子模幂运算决定，为 (O(\ell_{bits}^3))。

1.2 算法步骤

假设 (M) 是一个大于 3 的奇数，且不是质数的幂，下面是 Shor 因式分解算法的一般步骤：
1. 选择随机数 (a) ：选择一个随机数 (a)，满足 (1 < a < M)，并记录这些值，因为可能需要重复此步骤。
2. 检查最大公约数 ：检查 (gcd(a, M)) 是否等于 1。若不等于 1，则已找到 (M) 的一个因子，算法结束；若等于 1，则 (a) 和 (M) 互质。
3. 寻找非零阶 (r) ：找到 (a) 模 (M) 的非零阶 (r)，即 (a^r \equiv 1 \mod M)。若 (r) 为奇数，则返回步骤 1，重新选择不同的 (a) 进行尝试。
4. 处理偶数阶 (r) ：若 (r) 为偶数，则有 (a^r \equiv 1 \mod M \Rightarrow a^r - 1 \equiv 0 \mod M \Rightarrow (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv