17、量子比特与布洛赫球及常用量子门介绍

量子比特与布洛赫球及常用量子门介绍

1. 基础概念与投影

首先，设 (a\in R)，定义 (\theta = \arccos\left(\frac{4a}{4 + a^{2}}\right))，并定义反函数 (g^{-1}(a)) 为：
[g^{-1}(a)=\begin{cases}
\theta, & \text{当 } |a|\geq1 \
2\pi - \theta, & \text{否则}
\end{cases}]
这里涉及到将二维对象通过一个变量 (\theta) 映射到一维直线 (R^{1}) 的投影问题。维度与“自由度”的概念相关，例如单位圆虽处于 (R^{3}) 中，但由于 (x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1)，即 (x_{0}=\pm\sqrt{1 - y_{0}^{2}})，所以 (x_{0}) 与 (y_{0}) 并非相互独立。在三维空间中，将球体映射到平面的等效过程是立体投影。

2. 布洛赫球

2.1 量子比特状态表示

量子比特的状态可以用 (C^{2}) 中的向量 (a|0\rangle + b|1\rangle=r_{1}e^{\varphi_{1}i}|0\rangle + r_{2}e^{\varphi_{2}i}|1\rangle) 来描述，其中 (r_{1},r_{2}) 为非负实数，且满足 (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=1)。从物理条件来看，相对相位 (\varphi_{2}-\varphi_{1}) 更为重要，这使得我们可以令 (a) 为实数。量子态还可表示为 (|\psi\rangle=\cos\left(\frac{\