7、实数及其数学结构

实数及其数学结构

1. 实数基础

1.1 证明 $\sqrt{2}$ 为无理数

通过反证法，假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，即 $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$（$m$、$n$ 互质），可推出 $2j^2 = n^2$，进而得出 $n^2$ 和 $n$ 是偶数，同理 $m$ 也是偶数，这与 $m$、$n$ 互质矛盾，所以 $\sqrt{2}$ 不是有理数，而是无理数。

1.2 练习

可仿照证明 $\sqrt{2}$ 为无理数的方法，证明 $\sqrt{3}$ 不是有理数。

2. 小数表示

2.1 小数的构成

实数的小数表示形式如下：
- 可选的负号；
- 有限个 0 - 9 的数字；
- 小数点（在很多地区用逗号表示，这里遵循美英惯例）；
- 有限或无限个数字。

通常在一般数学情境中会省略小数点后的尾随 0，以及数字左边的前导 0。例如：
- $0 = 0. =.0 = 000.00$
- $1 = 1. = 1.0 = 000001$
- $−3.27 = −03.27 = −3.27000000000$

2.2 整数与小数的展开

整数可以表示为 10 的幂次之和，例如：
- $1327 = 1 × 10^3 + 3 × 10^2 + 2 × 10^1 + 7 × 10^0$
- $−340 = (−1) × (3 × 10^2 + 4 × 10^1 + 0 × 10^0)$

小数则通过 10