46.牛客国庆集训派对day4 E 乒乓球 期望转组合数学+NTT

题意：

N个乒乓球权值为wi，每次等概率取出一个（不放回）直到取完，

若取出第K个，则获得这颗球左边第一个乒乓球和右边第一个乒乓球的权值的乘积

左边没有球了就获得0收益，问期望收益？   N<=1e5 ,模数998244353

思路：

我们枚举wi*wj产生贡献的情况

ans= 其中pij指wi*wj产生贡献的概率

我们现在来求pij：

1.整个取球过程一共有N！种情况，那么我们就可以把取球的过程看成是其中一种排列

2.对于排列X，wi*wj要做出贡献就必须ij之间的k个球在ij的左边：2!*k!

其中k=j-i-1;

3.剩下n-k-2个球顺序对结果无影响，所以(n-k-2)个球可以任意一处插入k+2个球中

方案数为(k+3)*(k+4)*…..n  ，如下图

结合2,3->概率为1/n! [2*n! /(j-i)*(j-i+1)]

接下来就是化简公式 ->  

令k=j-i  -> i=j-k  ->   

交换jk求和顺序:   ->  

至此，后面的sum可以用NTT(nlogn)预处理出来

求ans只要O(n*1)  预处理逆元O(n)，总复杂度O(nlogn)

核心代码：

    //3.NTT   灵活操作  ai bi的表达式 
    for (int i=2;i<E;++i) a[i]=1ll*inv[i+1]*inv[i]%mod*2%mod;
    for (int i=1;i<=E;++i) b[i]=ww[i];
    //4.NTT   固定操作  ai卷积bi  
    //也就是(a0+a1x+a2x^2...)*(b0+b1x+b2x^2....)=(c0+c1x+c2x^2....),
    //其中ck=sum_{j=0...k}aj*b(k-j)
    //也就是说求sum_{i=0~n}sum_{j=0~i}aj*b(i-j)可以nlogn 求出来 
    ntt(a,1);ntt(b,1); 
    for (int i=0;i<=len;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,-1);
    //5.NTT   非固定操作  计算求和表达式的答案ans  
    for (int i=3;i<=E;++i) (ans+=1ll*ww[i]*a[i]%mod)%=mod;
    printf("%d\n",ans);