uvalive1140 组合数学+二项式反演+预处理cmk

题意：n个位置染m种颜色，选K种颜色，要求相邻位置不同颜色，且K种颜色至少都用一次

思路：先选K种颜色，然后如果不管至少都用一次的限制，全体= $\small k*(k-1)^{n-1}$

全体由恰有1种颜色至少用一次+恰有2种颜色至少用一次+..恰有K种颜色至少用一次

$\small k(k-1)^{n-1}=\sum_{i=2}^{k}f_{k}\binom{k}{i}$ 反演 $\small ans=\binom{m}{k}f_{k}=\binom{m}{k}\sum_{i=2}^{k}-1^{i+k}\binom{k}{i}i(i-1)^{n-1}$

有个黑科技叫二项式反演（容斥）

学习博客：http://blog.miskcoo.com/2015/12/inversion-magic-binomial-inversion

$\small \binom{m}{k}=\binom{m}{k-1}*\frac{m-k+1}{k}$ ,用这个预处理cmk跟cki

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll qmod(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll res=1;while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;b=b>>1;
	}
	return res;
}
ll cmk[1000005];ll cki[1000005];ll inv[1000005];
void initInv()//预处理 
{
    inv[1] = 1;
    for(ll i = 2; i <= 1000002; i ++) inv[i] = (mod - mod / i) * 1ll * inv[mod % i] % mod;
}
void pre(ll m,ll k)
{
	cmk[1]=m;cki[1]=k;cmk[0]=1;cki[0]=1;
	for(ll i=2;i<=k;i++)
	{
		cmk[i]=cmk[i-1]*(m-i+1)%mod*inv[i]%mod;
		cki[i]=cki[i-1]*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod;
	}
}
int main()
{
	initInv();
	ll n,m,k;
	int T;int kase=0;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);pre(m,k);
		//cout<<"test="<<cki[2]<<endl;
		printf("Case #%d: ",++kase);
		ll ans=0;
		for(ll i=1;i<=k;i++)
		{
			if((k+i)&1)ans=(ans-(cki[i]*1ll*i)%mod*qmod(i-1,n-1,mod)%mod+mod) %mod;
			else ans=(ans+(cki[i]*1ll*i)%mod*qmod(i-1,n-1,mod)%mod+mod) %mod;
			ans%=mod;
		}
		
		printf("%lld\n",ans*cmk[k]%mod);
		
	}	
}