洛谷P3317 变元矩阵树定理+求解行列式

最新推荐文章于 2021-05-27 10:23:39 发布

animalcoder

最新推荐文章于 2021-05-27 10:23:39 发布

阅读量375

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： ACM--数学文章标签：行列式矩阵树定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/animalcoder/article/details/100761386

ACM--数学专栏收录该内容

11 篇文章

订阅专栏

本文探讨了变元矩阵树定理在无向图中每条边具有独立概率情况下的应用，通过调整边权计算最终形成特定生成树的概率。详细解析了如何利用该定理解决P3317题目，即求解特定规模生成树的出现概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

//变元矩阵树定理： 边矩阵Aij表示边权Eij,Aii=0  度数矩阵D只有Dii有值 Dii表示点i的邻接点边权和 
//基尔霍夫矩阵K=D-A  那么我们有|K|= 所有生成树的边权的积的和= sum{Tree} mul{e属于Tree}val(e)
//O(n^3) P3317题意：无向图给出每条边的概率，问最后形成n-1条边的树的概率
//ans=sum{Tree}( mul{e属于Tree}p(e)*mul{e不属于Tree }(1-p(e)) )
//ans=sum{Tree}( mul{e属于Tree}p(e)*mul{e属于边权全集}(1-p(e))/mul{e属于Tree}(1-p(e)) )
//ans=mul{e属于边权全集}(1-p(e))* sum{Tree}( mul{e属于Tree}p(e)/mul{e属于Tree}(1-p(e)))
//ans=mul{e属于边权全集}(1-p(e))* sum{Tree}( mul{e属于Tree}p(e)/(1-p(e))  )
//所以令边权pe=pe/(1-pe)即可 套用上面的变元矩阵树定理求解
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
using namespace std;
const double eps=1e-8;
double p[205][205];
namespace Gauss{
    double K[205][205];
    double det(int n) {//行列式n的值
        int tr=0;
        rep(i,1,n) {
            int p=i;
            rep(j,i+1,n)if (fabs(K[j][i]) > fabs(K[p][i])) p = j;//找到最大的行p
            if (p!=i) rep(j,i,n) swap(K[i][j],K[p][j]);//然后交换
            rep(j,i+1,n) {//将第i+1~n行的第i个置为0
                double tmp = K[j][i] / K[i][i];
                rep(k,i,n) K[j][k] -= K[i][k] * tmp;
            }
        }
        double ans = 1.0;
        rep(i,1,n) ans *= K[i][i];
        return ans;
    }

}
int main(){
    int n;double ans=1.0;cin>>n;
    using namespace Gauss;
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,n){
            cin>>K[i][j];
            if(K[i][j]<eps)K[i][j]=eps;
            if(1.0-K[i][j]<eps)K[i][j]=1.0-eps;
            if(j>i)ans*=(1.0-K[i][j]);
            K[i][j]=K[i][j]/(1.0-K[i][j]);
        }
    }
    rep(i,1,n){
        K[i][i]=0;
        rep(j,1,n){
            if(i!=j){
                K[i][i]+=K[i][j];
                K[i][j]=-K[i][j];
            }
        }
    }
    
    cout<<ans*det(n-1);//n-1阶余子式
    system("pause");
}