[学习笔记]高斯消元、行列式、Matrix-Tree 矩阵树定理

一、前置芝士：高斯消元

https://blog.youkuaiyun.com/xyz32768/article/details/78574746

二、行列式的定义

一个$n$ 阶方阵（行数和列数相等的矩阵） $A$ 的行列式为：

$$\sum_{p是一个1到n的排列}(-1)^{p的逆序对数}\prod_{i=1}^nA[i,p_i]$$
记为 $\text{det}(A)$ 或 $|A|$ 。

三、行列式的性质

（1） $|A|=|A^T|$
（2） $|AB|=|A||B|$
（3）矩阵的一行乘上 $k$ 之后，行列式乘上 $k$ 。
（4）如果矩阵的每一行内数的和都为 $0$ ，每一列内数的和都为 $0$ ，那么行列式为 $0$ 。
（5）交换矩阵的两行或两列，行列式取反。
（6）矩阵的一行减去另一行的 $k$ 倍，行列式不变。
性质（6）是求解行列式的关键。

四、求解行列式

暴力求解是 $O(n^2\times n!)$ 的。
利用高斯消元求解行列式。
根据性质（6），我们可以 for $i$ 从 $1$ 到 $n$ ，用第 $i$ 行把所有满足 $j\in[i+1,n]$ 的位置 $(j,i)$ 消成 $0$ ，也就是用第 $i$ 行去消第 $j$ 行。
最后原矩阵被消成一个上三角矩阵（对于每个 $1\le i\le n$ ，第 $i$ 行前 $i-1$ 个元素全部为 $0$ 的矩阵）。
显然这时候矩阵的行列式为对角线上元素的乘积。
复杂度 $O(n^3)$ 。
代码：

double det(int n) {
    int i, j, k;
    For (i, 1, n) {
        int p = i;
        For (j, i + 1, n)
            if (fabs(mat[j][i]) > fabs(mat[p][i])) p = j;
        if (p != i) For (j, i, n) swap(mat[i][j], mat[p][j]);
        For (j, i + 1, n) {
            double tmp = mat[j][i] / mat[i][i];
            For (k, i, n) mat[j][k] -= mat[i][k] * tmp;
        }
    }
    double ans = 1;
    For (i, 1, n) ans *= mat[i][i];
    return ans;
}

如果行列式特别大且题目要求取模，则可以利用逆元：

int det(int n) {
    int i, j, k, res = 1;
    For (i, 1, n) {
        int qaq = qpow(a[i][i], ZZQ - 2);
        For (j, i + 1, n) {
            int tmp = 1ll * a[j][i] * qaq % ZZQ;
            For (k, 1, n) a[j][k] = (a[j][k] - 1ll * a[i][k] *
                tmp % ZZQ + ZZQ) % ZZQ;
        }
    }
    For (i, 1, n) res = 1ll * res * a[i][i] % ZZQ;
    return res;
}

如果模数不是质数，可以利用辗转相除的方法，复杂度多一个 $\log$ 。
具体地，如果当前要用第 $i$ 行去消第 $j$ 行，那么：
（1）第 $i$ 行减掉第 $j$ 行的