２．三维空间的刚体运动

最新推荐文章于 2025-05-28 11:30:44 发布
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本文介绍了三维空间中刚体运动的描述方式，包括点与坐标关系、旋转矩阵、变换矩阵以及旋转向量、欧拉角和四元数。重点讨论了旋转矩阵的性质和变换矩阵的齐次形式，以及四元数在避免奇异性问题上的优势。

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声明：本文是深蓝学院 高翔博士主讲的《SLAM理论与实践》的学习笔记。

点与坐标关系

向量可由坐标系中的点来表达。向量运算可由坐标运算表达：

  • 加法、减法：对应坐标相加减
  • 内积：这里写图片描述
  • 外积：这里写图片描述

机器人在运动中涉及多种坐标系，例如　固定的世界坐标系、移动的机器人坐标系
、不同的传感器坐标系。如下图所示。

这里写图片描述

那么问题来了：
- 如何描述坐标系与坐标系之间的变化？答案：旋转＋平移
- 如何计算同一个向量在不同坐标系里的坐标？

旋转矩阵与变换矩阵表达运动

旋转
考虑一次旋转,
这里写图片描述

这里写图片描述

此处R称为旋转矩阵，可以验证Ｒ是一个正交矩阵且行列式为+1　（满足这两个性质的称为旋转矩阵）。

旋转矩阵的集合，称为特殊正交群SO(3)：Special Orthogonal Group

　这里写图片描述

于是，１到２的旋转可以表达为： a1=R12a

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视觉SLAM十四讲_2_三维空间刚体运动
惊鸿一博
04-29 442
目录 1 点与坐标系 2 旋转矩阵​ 3 旋转向量表示与变换 3.1 轴角 3.1.1 轴角与旋转矩阵 3.2 欧拉角 3.3 四元数 3.3.1 四元数与轴角(或称角轴)转换 3.4 相似、仿射、射影变换(略) 3.5 Eigen几何模块代码实践 1 点与坐标系 2 旋转矩阵 3 旋转向量表示与变换 ...
1. 三维空间刚体运动（笔记）
博客
08-01 3997
刚体运动：位置（空间中的地方） + 姿态（相机朝向） ——> 点 + 向量 相机运动就是刚体运动 保证同一向量在各个坐标系下的夹角和长度都不变 （欧式变换） ： 旋转 + 位移 点和坐标 2D ： （x，y，θ）T 3D：怎么用数学形式描述3个轴的旋转？ 旋转矩阵： 因为刚体运动 向量不变 所以第一个等号成立 旋转矩阵 ：正交矩阵 （R逆等于R转置； R转置▪R= ...
第三讲 三维空间刚体运动
qq_42138662的博客
09-08 2263
一、旋转矩阵 对于刚体来说，其在空间中的状态由位置和姿态描述，称之为姿态。如，相机在的（0,0,0）处，这是在描述相机的位置。相机朝向为正前方，这是在描述相机的姿态。 1、点、向量和坐标系 1）定义 点：点是空间中的基本元素，没有长度和体积。 向量：由一个点指向另外一个点就是一个向量。！！！一般向量用列向量表示！！！ 坐标系：点和向量要想与坐标联系起来，说先要选定一个坐标系。 2）点和向量的坐标 三维空间中点的坐标：在给定坐标系下可以直接表示为（x,y,z) 三维空间中向量的坐标：
三维空间中刚体运动
陈建驱的博客
02-21 1669
个人博客：http://www.chenjianqu.com/ 原文链接：http://www.chenjianqu.com/show-82.html 本文是总结<视觉SLAM14讲>所做的笔记。在前面的博文ROS-坐标转换(TF)介绍了ROS中的坐标变换通信的机制，但是没有提到坐标变换本身，因此这篇博文补充这些基本概念。 两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成...
25、三维旋转公式
最新发布
manyuan4374的博客
05-28 504
在三维空间中，旋转可以围绕三个坐标轴（x轴、y轴、z轴）进行。每个轴的旋转都可以用一个特定的旋转矩阵来表示。在三维空间中，任意的旋转可以通过这三个基本旋转的组合来实现。例如，一个常见的旋转顺序是先绕z轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕x轴旋转（即ZYX顺序）。这是因为，绕y轴逆时针旋转的时候，旋转方向是z–>x。三维旋转矩阵在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域中有着广泛的应用，用于描述和实现三维空间中的旋转变换。其中，(α)、(β) 和 (γ) 分别是绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。这里角度都是逆时针旋转。
三维的刚体运动
qq_46067306的博客
07-22 336
介绍了刚体的三维空间运动
三维刚体运动
四脚猫的博客
04-04 507
三维刚体运动点和向量，坐标系坐标系的欧式变化四元数 点和向量，坐标系 首先说说向量是什么，它是线性空间的一个元素，可以想象从原点指向某处的一个箭头，不要把向量和坐标混淆。谈论向量a⃗\vec aa在一个线性基（e⃗1,e⃗2,e⃗3\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3e1​,e2​,e3​）的坐标 (1)a⃗=[e⃗1e⃗2e⃗3][a1a2a3] \vec a = \left[ ...
三维空间的刚体运动
weixin_45392405的博客
05-13 1030
三维空间的刚体运动1）旋转矩阵2）变换矩阵3）欧拉角4）四元数 一个刚体在三维空间中的运动如何描述？ 我们知道是由旋转加平移组成的，平移很简单，但是旋转有点麻烦。 三维空间的刚体运动的描述方式：旋转矩阵、变换矩阵、四元数、欧拉角。 刚体，不光有位置，而且还有姿态。相机可以看成是三维空间的一个刚体，位置指的就是相机在空间处于哪个地方？而姿态指的是相机的朝向（例如：相机位于（0, 0，0）点处，朝向正东方）但是这样去描述比较繁琐。 1）旋转矩阵 1、坐标系间的欧式变换 欧式变换：相机运动是一个刚体运动，他保证
【视觉SLAM:二、三维空间刚体运动】
计算机领域博客，与时俱进的思想与技术。
12-29 1120
qwxyzw∈Rvxyz∈R3qwxyzw∈Rvxyz∈R3qwvqwv三维空间中的刚体运动描述了刚体在空间中的旋转和平移。我们通过旋转矩阵、旋转向量和欧拉角、四元数等方式表示旋转，通过变换矩阵统一旋转和平移的表示。进一步，仿射变换和射影变换拓展了变换的范围，可用于更复杂的场景分析与建模。
硬核3-D视觉 - 三维空间的刚体运动
weixin_38213410的博客
06-27 2312
我将不会定义时间、空间、地点和运动，因为它们对于所有来说都是显然既定的。 —— 艾萨克 · 牛顿 欧几里得运动，也叫做“刚体运动”，以及透视投影，是处于研究3D场景和它的2D图像之间几何关联的核心的两组基本变换。 刚体运动对相机如何运动进行建模，透视投影则描述相机的成像原理。 很早以前，刚体运动和透视投影是分开分别独立进行研究的。 本章我们介绍三维欧氏空间以及其中的刚体运动。下一章将关注相机的投影模型。两章内容都需要一些线性代数的基础知识。 一些线性代数的基础知识。 2.1 三维欧氏空间 .
三维空间刚体运动学习
一个有梦想，有追求，有抱负的人
11-23 589
三维空间刚体运动的描述方式：旋转矩阵、变换矩阵、四元数和欧拉角 旋转矩阵 在SLAM 中相机可以看成三维空间的刚体，相机的位置是指相机在空间中的哪一个地方，二姿态则是指相机的朝向。结合起来可以说“相机正处于（0,0,0）点出，朝向正前方”。 aXb = a^b (外积)—“^”该符号表示a为反对称矩阵； 外积只对三维向量存在定义，能够使用外积表示向量的旋转 欧式变换：刚体运动保证了同一个向量在各...
第三讲，三维空间刚体运动
kaszxc的博客
08-27 349
这个矩阵由两组基之间的内积组成，刻 画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的，那么这个矩阵也是一样的。可以说，矩阵 R 描述了旋转本身。因此它又称为。
视觉slam十四讲ch3三维空间刚体运动（包含实践部分）
shikaiaixuexi的博客
10-11 840
欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题(Gimbal Lock)在俯仰角为±90°时,第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由3次旋转变成了2次旋转)。这被称为奇异性问题，在其他形式的欧拉角中也同样存在。理论上可以证明，只要想用3个实数来表达三维旋转，都会不可避免地碰到奇异性问题。由于这种原理,欧拉角不适用于插值和迭代,往往只用于人机交互中。我们也很少在SLAM程序中直接使用欧拉角表达姿态，同样不会在滤波或优化中使用欧拉角表达旋转（因为它具有奇异性)。
SLAM—三维空间刚体运动
zhzxlcc的博客
04-06 922
刚体不光有位置，还有自身的姿态。相机也可以看成三维空间的刚体，于是位置是指相机在空间中的哪个地方，而姿态则是指相机的朝向。 内积：点乘，对应坐标积之和。外积：叉乘，可表示成一个反对称矩阵乘以向量。 相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。这种变换称为欧氏变换。想象你把手机抛到空中，在它落地摔碎之前，只可能有空间位置和姿态的不同，而它自己的长度、各个面...
视觉SLAM十四讲|【一】三维空间刚体运动
qq_43443531的博客
12-25 6016
SO(n)={R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1} SO(n)=\{ R \in \mathbb{R^{n \times n}} | RR^T=I,det(R)=1 \} SO(n)={R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1} SO(n)为特殊正交群 设aaa为一点坐标(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)。旋转与平移的结合可以描述为如下形式 a′=RTa+t a'=R^Ta+t a′=RTa+tRT=R−1 R^T = R^{-1} RT=R−1 RRT=I,det(R)=1 RR^T=I
视觉SLAM十四讲：第3讲 三维空间刚体运动
Always On The Way
07-03 2959
第3讲：三维空间刚体运动 三维空间中刚体运动的描述方式：旋转矩阵、变换矩阵、四元数和欧拉角 3.1 旋转矩阵 3.1.1 点和向量，坐标系 三维空间中，给定线性空间基(e1,e2,e3)(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3})(e1​,e2​,e3​)，则向量a,b∈R3\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \R^{3}a,b∈R3， a=[e1e2e3][a1a2a3]=a1e1+a2e2+a3e3(3-1)\mathbf{a} =
视觉SLAM十四讲 第3讲 三维空间刚体运动（相关知识点汇总）
CSSDCC的博客
12-01 1214
视觉SLAM十四讲 第3讲 三维空间刚体运动1. 刚体2. 欧氏空间（euclidean space）2.1 欧氏距离：2.2 欧氏变换：3. 笛卡尔坐标系4. 透视空间5. 齐次坐标系5.1 问题：两条平行线可以相交于一点？5.2 为什么叫齐次？6. 关于Eigen7. 基础知识7.1 点和向量7.2 点乘和叉乘8. 旋转矩阵相乘的含义9. 变换矩阵Transform Matrix10. 旋转向量、欧拉角、四元数10.1 旋转向量和旋转矩阵10.1.1 旋转向量和旋转矩阵Eigen10.2 欧拉角10.3
三维空间中刚体的变换旋转和平移
sxk20091111的专栏
05-04 1298
这里旋转主要可以采用旋转向量， 旋转矩阵， 欧拉角，四元数。 我们也能反向从坐标轴表现形式得到旋转矩阵： 欧拉角是采用偏航， 俯仰， 滚转（yaw, pitch, roll来表示） 这里是先绕Z， 再绕Y，最后绕X旋转得到的 四元数：q = [cos(a/2) , Nxsin(a/2), Nxsin(a/2), Nz
matlab三维空间刚体运动
08-14
总结起来，MATLAB中的三维空间刚体运动可以通过旋转矩阵来实现，旋转矩阵是一种正交矩阵，它可以保持长度、角度、面积等特征不变的仿射变换。在MATLAB中，可以使用makehgtform函数来创建旋转矩阵。<span class="em">...
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