视觉SLAM十四讲 第3讲 三维空间刚体运动（相关知识点汇总）

本文不以书上的知识点流程进行记录，而是将初学SLAM一些相关却又比较陌生的知识点、名词进行总结，然后再记录第3讲的相关知识。

1. 刚体

刚体rigid body，指在运动或受力的过程中，形状和大小不变，各个质点的相对位置不变
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2. 欧氏空间（euclidean space）

欧几里得空间就是对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）
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简单来说所有满足从2维、3维推出的内积、距离、角的定义的空间都叫做欧氏空间。

2.1 欧氏距离：

$$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}$$
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2.2 欧氏变换：

欧氏变换由旋转和平移组成。
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非欧几里得空间：二维扁平智能生物
https://www.zhihu.com/question/27903807
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3. 笛卡尔坐标系

又称直角坐标系、正交坐标系。笛卡尔坐标系的研究结合了代数和欧几里得几何，对于后来的解析几何、微积分和地图学的发展，具有关键性的意义。

4. 透视空间

透视从理论上直观的解释了物体在平面（2维）上呈现三维空间的基本原理和规律。方法有单点透视、空气透视和散点透视。更多的是绘画上的概念。
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可以直接把透视空间理解为3维空间往某个方向、平面，拍扁成2维平面所形成的图像。
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5. 齐次坐标系

5.1 问题：两条平行线可以相交于一点？

在欧式空间中，同一平面的两条平行线不能相交，但是透视空间中可以，比如火车轨道随着我们的实现越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。
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这个点的坐标是消失点（无穷，无穷），这在欧式空间中没有意义。
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简而言之，齐次坐标系，就是用N+1维向量（矩阵）来表示N维向量（矩阵），而转化回笛卡尔坐标系就是用前N-1个元素除以第N个元素即可。齐次坐标系就是为了解决，平行线在透视空间相交且相交点在欧式空间没有意义的问题。
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笛卡尔坐标系(a, b) -> 齐次坐标系(x, y, w)
其中a = x / w, b = y / w
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5.2 为什么叫齐次？

(4, 6, 2)和(2, 3, 1)对应的是同一个欧氏点，这些点是齐次的，齐次坐标有规模不变性。
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求平行线相交方程组：
https://blog.youkuaiyun.com/janestar/article/details/44244849
如果是普通坐标系，则方程无解，转化为齐次坐标系则有解，解在无穷远处
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6. 关于Eigen

• 在c++程序中，我们可以把一个float数据和double数据相加、相乘，编译器会自动把数据类型转换为最合适的那种。而在eigen中，处于对性能的考虑，必须显式得对矩阵类型进行转换，不然会出错。
• 如果发现eigen出错，你可以直接找大写的部分，来看看出了什么问题。
• eigen几乎所有数据都当做矩阵来处理

7. 基础知识

7.1 点和向量

点是空间中的基本元素，没有长度，没有体积。把两个点连接起来，就构成了向量。
向量可以看成从某点指向另一个点的一个箭头。切记，不要把向量与它的坐标这两个概念啊混淆。向量就是空间中的一个东西，不需要与任何实数相关联，只有确定了空间中的某个坐标系时，才可以谈论该向量在此坐标系下的坐标，也就是找到若干个实数对应这个向量。
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坐标的具体取值，一是和向量本身有关，二是和坐标系（基）的选取有关。基就是张成这个空间的一组线性无关的向量，有些书里也叫基底。基向量的长度为1。
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7.2 点乘和叉乘

dot内积（点乘）：
① a在b上的投影的模乘以b的模
② 描述向量之间的夹角
$$a\cdot b=a^{T}b=|a||b|cos<a,b>$$
矩阵没有点乘一说
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cross product外积（叉乘）：
① aOb平面的法向量
② ab组成的平行四边形的面积和法向量长度$$|a|</$$