三维刚体运动

点和向量，坐标系

首先说说向量是什么，它是线性空间的一个元素，可以想象从原点指向某处的一个箭头，不要把向量和坐标混淆。谈论向量$\vec{a}$在一个线性基（${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$）的坐标
$$\vec{a}=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{e}}_1& {\vec{e}}_2& {\vec{e}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
向量的点乘（内积）可以描述成向量间的投影关系，对于$\vec{a},\vec{b}\in {\vec{R}}^3$,
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^3{a}_i{b}_i=|\vec{a}||\vec{b}|cos<\vec{a},\vec{b}>\text{\hspace{1em}(2)}$$
向量的叉乘（外积）
$$\vec{a}\times \vec{b}=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]\vec{b}={\vec{a}}^v\cdot \vec{b}\text{\hspace{1em}(3)}$$
|$\vec{a}\times \vec{b}$|在数值上等于由$\vec{a}$和$\vec{b}$构成的平行四边形的面积 $|\vec{a}||\vec{b}|sin<\vec{a},\vec{b}>$,方向垂直于这两个向量。
(3)式中最后的等号是近似的，我们把${\vec{a}}^v$当成$\vec{a}$生成的一个反对称矩阵，这样就把向量的叉乘变成矩阵与向量的乘积，把运算变成了线性运算

坐标系的欧式变化

在欧式变化中，除了旋转还有平移。考虑到世界坐标系中的向量$\vec{a}$，经过一次选择（R）和一次平移$\vec{t}$,得到了${\vec{a}}^{\prime }$,有：
$${\vec{a}}^{\prime }=R\vec{a}+\vec{t}$$
我们定义两个坐标系：世界坐标系和相机坐标系，在该定义下，设某个点再世界坐标系中的坐标为${\vec{p}}_w$，在相机坐标系下为${\vec{p}}_c$,那么：
$${\vec{p}}_c=T_{cw}{\vec{p}}_w$$
这里$T_{cw}$表示世界坐标系到相机坐标系的变换。或者反过来的$T_{wc}$:
$${\vec{p}}_w=T_{wc}{\vec{p}}_c=T_{cw}^{-1}{\vec{p}}_c$$
如果把${\vec{p}}_c$取成零向量，也就是相机坐标系的原点，那么 ${\vec{p}}_w$就是相机原点在世界坐标系下的坐标：
$${\vec{p}}_w=T_{wc}\vec{0}={\vec{t}}_{wc}$$
我们发现这就是$T_{wc}$的平移部分。
note：$T_{wc}$表示相机坐标系到世界坐标系的变换。旋转部分遵循相机到世界的旋转，平移部分则是相机在世界坐标系下的坐标

四元数

假设某个旋转是绕单位向量$\vec{n}=[n_x,n_y,n_z{]}^T$进行角度$\theta$的旋转，那么这个旋转的四元数形式就是
$$\vec{q}=[cos\frac{\theta }{2},n_{x}sin\frac{\theta }{2},n_{y}sin\frac{\theta }{2},n_{z}sin\frac{\theta }{2}{]}^T$$