【莫比乌斯反演】【线性筛约数和】P3312 [SDOI2014]数表

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#算法 #莫比乌斯反演 #数论分块 #线性筛

题意

求 $∑i=1n∑j=1m[σ1(gcd⁡(i,j))≤a]σ1(gcd⁡(i,j))\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [\sigma_1(\gcd(i,j))\le a]\sigma_1(\gcd(i,j))$

分析

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
const ll mod=(1ll<<31);
int T;
struct qquery
{
    int n,m,a,id;
}q[maxn];
bool cmp(qquery x,qquery y)
{
    return x.a<y.a;
}
ll c[maxn],ans[maxn];
int is[maxn],pr[maxn],mu[maxn],cnt;
int sd[maxn],num[maxn];
void init()
{
    mu[1]=1;
    sd[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!is[i])
        {
            pr[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
            sd[i]=i+1;
            num[i]=i+1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && pr[j]*i<maxn;j++)
        {
            is[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0)
            {
                mu[i*pr[j]]=0;
                sd[i*pr[j]]=sd[i]/num[i]*(num[i]*pr[j]+1);
                num[i*pr[j]]=num[i]*pr[j]+1;
                break;
            }
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
            sd[i*pr[j]]=sd[i]*(pr[j]+1);
            num[i*pr[j]]=pr[j]+1;
        }
    }
}
struct sigma
{
    int sum,id;
}e[maxn];
bool cmpp(sigma x,sigma y)
{
    return x.sum<y.sum;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void modify(int x,int y)
{
    while(x<maxn)
    {
        c[x]=(c[x]+y)%mod;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll query(int x)
{
    ll res=0;
    while(x)
    {
        res=(res+c[x]+mod)%mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}
void update(int id)
{
    int k=e[id].id;
    for(int i=1;i*k<maxn;i++)
        modify(i*k,mu[i]*e[id].sum);
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    init();
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++) scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+T+1,cmp);
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        e[i].sum=sd[i],e[i].id=i;
    sort(e+1,e+maxn,cmpp);
    int now=1;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        while(e[now].sum<=q[i].a) update(now),now++;
        int n=q[i].n,m=q[i].m;
        if(n>m) swap(n,m);
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans[q[i].id]=(ans[q[i].id]+1ll*(query(r)-query(l-1))*(n/l)%mod*(m/l)+mod)%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=T;i++) printf("%lld\n",(ans[i]%mod+mod)%mod);
    return 0;
}