76、混合密度网络：解决非高斯分布预测问题

混合密度网络：解决非高斯分布预测问题

1. 正向与逆向问题

在许多实际场景中，我们会遇到正向问题和逆向问题。以机器人手臂的运动学为例，正向运动学是指已知关节角度和手臂长度，唯一确定末端执行器的笛卡尔坐标位置。例如，一个双连杆机器人手臂，其末端执行器的坐标 $(x_1, x_2)$ 由两个关节角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 以及手臂的固定长度 $L_1$ 和 $L_2$ 唯一确定。

然而，在实际应用中，我们往往需要解决逆向问题，即要将机器人的末端执行器移动到特定位置，需要确定合适的关节角度。对于双连杆机器人手臂的逆向运动学问题，通常有两种解决方案，对应“肘部向上”和“肘部向下”两种情况。

正向问题通常对应物理系统中的因果关系，一般有唯一解。比如，人体特定的症状模式可能是由某种特定疾病引起的。但在模式识别中，我们通常需要解决逆向问题，例如根据一组症状预测疾病的存在。如果正向问题是多对一的映射，那么逆向问题就会有多个解，因为几种不同的疾病可能导致相同的症状。

2. 传统方法在逆向问题中的局限性

监督学习的目标是建模条件分布 $p(t|x)$，对于许多简单的回归问题，通常假设其为高斯分布。但实际的机器学习问题往往具有显著的非高斯分布，尤其是在逆向问题中，分布可能是多模态的。

以一个简单的玩具问题为例，通过在区间 $(0, 1)$ 上均匀采样变量 $x$ 得到一组值 ${x_n}$，然后计算函数 $x_n + 0.3 \sin(2\pi x_n)$ 并添加区间 $(-0.1, 0.1)$ 上的均匀噪声，得到对应的目标值 $t_n$。将 $x$ 和 $t$ 的角色互换，就得到了逆向问题。