38、线性回归中的贝叶斯方法：解决过拟合与模型复杂度问题

线性回归中的贝叶斯方法：解决过拟合与模型复杂度问题

1. 偏差 - 方差分解的局限性

在回归问题中，我们常常会遇到模型复杂度的问题。当模型过于复杂时，它可能会对训练数据过拟合，导致在新数据上的表现不佳；而当模型过于简单时，又可能会出现欠拟合的情况。偏差 - 方差分解试图从频率主义的角度来理解模型复杂度问题。

偏差是指模型预测值的期望与真实值之间的差异，方差则是指模型预测值在不同数据集上的波动程度。一个小的正则化参数 $\lambda$ 会导致权重参数有较大的变化，从而使模型对数据集的变化非常敏感，导致较大的方差；相反，一个大的 $\lambda$ 值会将权重参数拉向零，导致较大的偏差。

然而，偏差 - 方差分解的实际价值是有限的。因为它是基于对多个数据集的平均值进行计算的，而在实际应用中，我们通常只有一个观测到的数据集。如果我们有大量给定大小的独立训练集，将它们组合成一个大的训练集是更好的选择，这样可以降低给定模型复杂度下的过拟合程度。

2. 贝叶斯线性回归的引入

由于偏差 - 方差分解的局限性，我们转向贝叶斯方法来处理线性基函数模型。贝叶斯线性回归不仅能为过拟合问题提供有力的见解，还能为解决模型复杂度问题提供实用的技术。

在讨论线性回归模型参数的最大似然估计时，我们发现有效模型复杂度由基函数的数量决定，需要根据数据集的大小进行控制。在对数似然函数中添加正则化项意味着可以通过正则化系数的值来控制有效模型复杂度，不过基函数的数量和形式的选择对于确定模型的整体行为仍然很重要。

决定特定问题的合适模型复杂度是一个难题，仅通过最大化似然函数无法解决，因为这通常会导致模型过于复杂和过拟合。独立的验证数据可以