6、概率理论与概率密度的深入解析

概率理论与概率密度的深入解析

1. 条件概率的反转与贝叶斯定理

假设我们得知选取的一个水果是橙子，我们想知道它来自哪个盒子。之前我们有关于在已知盒子的情况下水果的概率分布，而现在我们需要计算在已知水果的情况下盒子的概率分布，也就是反转条件概率。我们可以使用贝叶斯定理来解决这个问题。

1.1 贝叶斯定理的应用示例

设 (B) 表示盒子（(B = r) 表示红色盒子，(B = b) 表示蓝色盒子），(F) 表示水果（(F = o) 表示橙子）。已知：
- (p(B = r)=\frac{4}{10})，即选取红色盒子的先验概率。
- (p(F = o|B = r)=\frac{3}{4})，即在红色盒子中选取到橙子的概率。

根据贝叶斯定理：
[p(B = r|F = o)=\frac{p(F = o|B = r)p(B = r)}{p(F = o)}]

这里我们还需要计算 (p(F = o))，不过在本题中通过计算可得：
[p(B = r|F = o)=\frac{3}{4}\times\frac{4}{10}\times\frac{20}{9}=\frac{2}{3}]

再根据概率的和规则，因为 (p(B = r|F = o)+p(B = b|F = o) = 1)，所以 (p(B = b|F = o)=1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3})。

1.2 先验概率与后验概率

• 先验概率 ：在得知选取水果的身份之前，我们所拥有的关于盒子选择的概率 (p(B)) 称为先验概率