21、连续概率与几何概率的深入解析

连续概率与几何概率的深入解析

1. 连续概率基础

连续概率中，样本空间是不可数的，积分取代求和，概率密度函数取代概率质量函数。许多离散概率中的概念，如期望、方差、联合和条件分布等，自然地延伸到了连续框架中。

1.1 重要概念

• 连续随机变量 ：取值在连续集合中的随机变量。
• 概率密度函数 ：函数 (f) 若满足以下条件，则为连续随机变量的密度函数：
  1. 对于所有 (x)，(f(x) \geq 0)。
  2. (\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1)。
  3. 对于所有 (S \subseteq \mathbb{R})，(P(X \in S) = \int_{S} f(x) dx)。
• 累积分布函数 ：(X) 的累积分布函数 (F(x) = P(X \leq x))，对所有实数 (x) 定义。
• 概率密度函数与累积分布函数的关系 ：(F’(x) = f(x))。
• 累积分布函数的性质 ：
  1. (\lim_{x \to \infty} F(x) = 1)。
  2. (\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0)。
  3. (F(x)) 在所有 (x) 处右连续。