10、案例研究：基于机器学习的金融衍生品定价

案例研究：基于机器学习的金融衍生品定价

在计算金融和风险管理领域，有限差分法、傅里叶方法和蒙特卡罗模拟等数值方法常用于金融衍生品的估值。传统的衍生品定价模型，如广泛使用的布莱克 - 斯科尔斯公式，虽应用广泛，但基于一些不切实际的假设，如特定的价格运动形式和无套利等经济约束条件。而且模型校准通常依靠衍生品价格而非历史资产价格，过程耗时，一些高质量的资产模型和方法在传统校准过程中可能被舍弃。

机器学习为解决这些问题提供了新途径。它能以较少的理论假设处理复杂情况，借助高性能硬件训练模型，速度远超传统方法，还能捕捉数据中的微妙非线性关系。本文将从机器学习角度出发，利用基于监督回归的模型对模拟数据中的期权进行定价，并聚焦于开发机器学习框架以及比较线性和非线性监督回归模型在衍生品定价中的表现。

1. 问题定义

在监督回归框架中，预测变量是期权价格，预测因子是布莱克 - 斯科尔斯期权定价模型的输入市场数据，包括股票价格、执行价格、到期时间、波动率、利率和股息率。为简化逻辑，定义货币性（moneyness）为 $M = K / S$，并令股息率 $q$ 为 0。

布莱克 - 斯科尔斯看涨期权定价公式为：
[
C = Se^{-q\tau}\Phi(d_1) - e^{-r\tau}K\Phi(d_2)
]
其中：
[
d_1 = \frac{\ln(S / K) + (r - q + \sigma^2 / 2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}
]
[
d_2 = \frac{\ln(S / K) + (r - q - \sigma^2 / 2)\tau}{\sigma\s