23、图像的离散傅里叶变换及相关处理技术

图像的离散傅里叶变换及相关处理技术

在信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种强大的工具，它能将信号或图像从时域或空域转换到频域，从而让我们从不同的视角来分析和处理数据。本文将深入探讨离散卷积、采样理论、图像的离散傅里叶变换以及如何利用傅里叶变换进行图像处理等内容。

1. 离散卷积

如同我们可以修改傅里叶变换公式来处理离散样本而非连续函数一样，卷积也能进行类似的处理。假设 ( c_1(k) ) 和 ( c_2(k) ) 分别是函数 ( g_1(t) ) 和 ( g_2(t) ) 的采样版本，那么卷积公式可以写成离散形式：
[
y(k) = \sum_{n} c_1(n)c_2(k - n) \quad \text{对于所有的 } k
]
这里积分运算被求和运算所取代。严格来说， ( dt ) 应该被样本间的时间增量所替代，但在离散形式中通常会省略。为了计算上述公式，首先要将样本集 ( c_2(k) ) 反转顺序形成 ( c_2(-n) )，然后让其滑过 ( c_1(n) )，在样本重合处取乘积，最后将结果求和。

例如，对于序列 ( {5, -3, 7} ) 和 ( {4, 6, -5} )，将第二个序列反转后滑过第一个序列，会得到聚合和 ( {0, 20, 18, -15, 57, -35, 0} )。

2. 采样理论

离散时间函数（如在开发离散傅里叶变换时考虑的样本序列）和数字图像，可以看作是对相应连续函数或场景进行定期采样的结果。周期脉冲序列（间隔为 ( \Delta t )，有时称为狄拉克梳）：
[
D(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \